Question

Вася и Петя играют в такую игру. У каждого из них в кармане имеется набор из 50 карточек, на каждой из которых записано некоторое число. На Васиных карточках записаны по 10 раз числа 1, 5, 6, 7 и 9, а на Петиных – числа 2, 3, 4, 8, 10, тоже на десяти карточках каждое. Ход в этой игре заключается в следующем. Оба мальчика одновременно извлекают наудачу по одной карточке из кармана и сравнивают записанные на них числа. Тот мальчик, у которого число больше, вычитает из него меньшее число, результат записывает на свою карточку вместо написанного на ней числа и кладёт эту карточку обратно в карман; карточка с меньшим числом выбрасывается. Если на обеих карточках одинаковые числа, то обе карточки выбрасываются. Вслед за этим делается новый ход и т.д. побеждает тот мальчик, у соперника которого не останется карточек. Кто победит в этой игре?

Answer 1

Ответ: Вася

Пошаговое объяснение:

У Пети сумма всех чисел на его карточках равна:

10*(2+ 3+4+ 8+10) =10*27=270

У Васи:

10*(1+5+6+7+9) = 280 на 10 больше чем у Пети.

Пусть в некоторый ход у одного из мальчиков число на карте оказалась меньше чем у другого, тогда он выкидывает эту карту, но тогда сумма чисел на всех его карточках уменьшилась на это число, но при этом мальчик, у которого  число на карточке  выше, вычитает из своей карточки меньшее число, то есть сумма чисел на всех его карточках уменьшилась на тоже самое число, что и у первого мальчика.

Аналогично, если числа у обоих оказались равны, то они оба выкидывают карты, то есть сумма также уменьшилась на одинаковое число.

Таким образом, за каждый ход сумма всех чисел на карточках у каждого из мальчиков уменьшается на одинаковое число.

Но тогда у Пети сумма чисел на всех карточках на каждом ходе всегда будет меньше чем у Васи на 10 .

Победитель тот, у CОПЕРНИКА которого не останется карточек, иначе говоря, сумма чисел на его карточках станет равна 0. Но поскольку, на каждом ходу у Пети сумма чисел на карточках меньше , то он первый останется без карточек, то есть победитель Вася.

Замечание:

Тут стоит отметить, что не у кого из мальчиков не может получится карточка с отрицательным числом или 0, ведь меньшее число всегда вычитается из большего, а карточки с равными числами не вычитаются, а просто выбрасываются.

Answer 2

Давайте рассмотрим, какие максимальные значения могут получить Вася и Петя на своих карточках, а также как они будут взаимодействовать.

У Васи на карточках записаны числа 1, 5, 6, 7 и 9. У Пети на карточках записаны числа 2, 3, 4, 8 и 10.

Максимальное число, которое Вася может получить на карточке, равно 9. Максимальное число, которое Петя может получить на карточке, равно 10.

Поскольку Петя всегда может выбрать карточку с числом 10 и выиграть этот ход (так как 9 < 10), он будет выигрывать каждый ход. Таким образом, Вася будет постоянно вынужден брать карточки с числами 1, 5, 6 и 7, и у него не будет возможности выиграть.

По мере игры Петя будет постоянно выбирать карточки с числом 10, выигрывать ходы и оставаться с карточками. В конечном итоге Вася выберет все карточки с числами 1, 5, 6 и 7, после чего Петя будет выигрывать каждый последующий ход.

Таким образом, Петя выиграет эту игру, так как он может управлять ходами так, чтобы оставить Васю с карточками, которые не позволят ему выиграть.