Question

16. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°, а гипотенуза на 10 см больше меньшего катета. Найти длину гипотенузы треугольника.

Answer 1

Ответ:

20

1. найдём угол треугольника а= 180-20=60
2. найдём второй угол треугольника 90-60=30
3. гипотенузу обозначим за х, а меньший катет тогда будет х-10
4. составим уравнение по теореме синусов, х и есть ответ

Answer 2

Пусть $x$ - длина меньшего катета. Тогда гипотенуза будет равна $x + 10$.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из внешних углов равен 120°. Это означает, что два внутренних угла, прилегающих к этому внешнему углу, будут равны $180° - 120° = 60°$. Так как треугольник прямоугольный, оставшийся угол тоже равен 90°.

Теперь мы можем использовать синус угла, чтобы определить отношение между катетами и гипотенузой: $\sin(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставляем значение синуса 60°: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{x + 10}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$: $\sqrt{3} \cdot (x + 10) = 2x$ $\sqrt{3}x + 10\sqrt{3} = 2x$ $10\sqrt{3} = 2x - \sqrt{3}x$ $10\sqrt{3} = x(2 - \sqrt{3})$ $x = \frac{10\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Чтобы найти длину гипотенузы ($x + 10$), подставляем найденное значение $x$: $\text{длина гипотенузы} = \frac{10\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} + 10$

Для удобства, можно умножить числитель и знаменатель на $2 + \sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя с корнем: $\text{длина гипотенузы} = \frac{10\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} + 10$ $\text{длина гипотенузы} = \frac{10\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} + 10$ $\text{длина гипотенузы} = \frac{10\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} + 10$ $\text{длина гипотенузы} = 10\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) + 10$ $\text{длина гипотенузы} = 20\sqrt{3} + 30 + 10\sqrt{3}$