Question

n−ый член геометрической прогрессии задан формулой bn = 3 · 2 n . Вычислить сумму 1/b1+ 1/b2 + ... + 1/b10

Answer 1

Ответ:

S_10=341/1024

Вычислить сумму 10 обратных членов.

Answer 2

Сорян. Не влезло все на 1 страницу так что не могу сфоткать. Дальше просто подставь значения. 2^10=1024 если что.

Answer 3

Чтобы вычислить сумму ряда 1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10, где bn = 3 * 2^n, давайте найдем первые 10 членов последовательности b1, b2, ..., b10:

b1 = 3 * 2^1 = 6 b2 = 3 * 2^2 = 12 b3 = 3 * 2^3 = 24 ... b10 = 3 * 2^10 = 3072

Теперь мы можем записать данную сумму:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10 = 1/6 + 1/12 + 1/24 + ... + 1/3072

Заметим, что каждый член данного ряда является обратным к соответствующему члену геометрической прогрессии. Мы знаем, что обратное числа bn обозначается как 1/bn. Таким образом, нам нужно найти сумму обратных членов геометрической прогрессии.

Сумма обратных членов геометрической прогрессии сначала будет иметь вид:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10 = 1/6 + 1/12 + 1/24 + ... + 1/3072

Для удобства вычислений, давайте найдем общий знаменатель для всех обратных членов:

Общий знаменатель = НОК(6, 12, 24, ..., 3072)

Вычислим общий знаменатель, разложив каждое число на простые множители:

6 = 2^1 * 3^1 12 = 2^2 * 3^1 24 = 2^3 * 3^1 ... 3072 = 2^10 * 3^1

НОК будет равно 2^10 * 3^1 = 2048 * 3 = 6144.

Теперь мы приведем каждое слагаемое к общему знаменателю:

1/b1 = 6144 / 6 1/b2 = 6144 / 12 1/b3 = 6144 / 24 ... 1/b10 = 6144 / 3072

Теперь суммируем все слагаемые:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10 = 6144/6 + 6144/12 + 6144/24 + ... + 6144/3072

Далее, выносим общий множитель за скобку и складываем числители:

1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10 = 6144 * (1/6 + 1/12 + 1/24 + ... + 1/3072)

Суммируем ряд 1/6 + 1/12 + 1/24 + ... + 1/3072:

1/6 + 1/12 + 1/24 + ... + 1/3072 = 1/6 * (1 + 2 + 4 + ... + 2^10)

Здесь в скобках стоит геометрическая прогрессия с первым членом 1 и последним членом 2^10.

Сумма геометрической прогрессии: S = a * (1 - r^n) / (1 - r), где a - первый член, r - знаменатель (в данном случае 2), n - количество членов (в данном случае 10).

S = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = -1023 / -1 = 1023.

Теперь вернемся к начальному коэффициенту 6144:

6144 * 1023 = 6276096.

Итак, сумма 1/b1 + 1/b2 + ... + 1/b10 равна 6276096.