Question

произведение 15 последовательных чисел не делится на 2 в 12 степени . докажите что среднее число делиться на 8​

Answer 1

возьмем 15 последовательных чисел

если начинается с четного, то 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

считаем степени 2  1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = 15 делится на 2^12

и в любом случае начиная с четного мы попадем или на 16 = 2^4 или на более высокую степень 2

начнем с нечетного

нам опять не подходит если попадем на 2^4 = 16 и больше,

то есть нам надо попасть в промежуток между 0 и 2^4, 2^4 и 2^5, 2^5 и 2^6 итд

это 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

степени двойки = 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11

Среднее (2^4 - 0)/2 = 16/2 = 8

или же 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27  28 29 30 31

степени двойки = 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11

Среднее (2^5 - 2^4)/2 = 32/2 = 16 делится на 8

Среднее (2^(n+1) - 2^n)/2 - кратно 8

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Пусть x - среднее из 15 последовательных чисел. Тогда эти числа можно представить как: x-7, x-6, ..., x-1, x, x+1, ..., x+6, x+7.

Заметим, что в данной последовательности есть 15 чисел, из которых 12 чисел являются нечетными (так как они отличаются от среднего числа x на нечетное количество единиц), и 3 числа являются четными (само среднее число x, а также x-6 и x+6).

Теперь посмотрим на степени числа 2. Число 2 в 12-й степени равно 4096, что означает, что в числителе или знаменателе должно быть как минимум 12 множителей 2, чтобы результат не делился на 2 в 12-й степени.

Поскольку среднее число x является четным (один из трех четных чисел в последовательности), оно содержит в себе хотя бы один множитель 2.

Теперь обратим внимание на три четных числа в последовательности: x-6, x и x+6. Одно из них делится на 2^2, другое на 2^1 (среднее число x) и еще одно на 2^1. Всего у нас есть 2 + 1 + 1 = 4 множителя 2.

Следовательно, произведение 15 последовательных чисел содержит как минимум 5 множителей 2, что меньше 12. Это означает, что оно не делится на 2 в 12-й степени (на 4096).

Таким образом, мы установили, что произведение не делится на 2 в 12-й степени. Теперь давайте докажем, что среднее число делится на 8.

Поскольку среднее число x содержит в себе хотя бы один множитель 2 (оно четное), и мы установили, что оно делится на 4 (так как x-6 и x+6 делятся на 2 и, следовательно, на 4), то оно обязательно содержит в себе 2^2 = 4 в качестве множителя.

Но так как оно четное, это также означает, что оно делится на 8.

Таким образом, мы доказали, что среднее число делится на 8.