Question

Если уравнение x^3–ax^2+12=0 (a<0) имеет три действительных корня, то, какие знаки имеют каждый из этих корней? ( с объяснением, пожалуйста)

Answer 1

Насколько я понимаю, от a тут ничего не зависит. Произведение корней - число положительное, а значит корни могут быть либо все положительные, либо только один положителен, а остальные два отрицательных.

PS: а еще, насколько я понимаю, тут больше одного корня не может быть никак...

Пусть дана функция:

$f(x) = x^3 - 2ax^2 + 12\\f'(x) = 3x^2 - 4ax\\f'(x) = 0 => x(3x-4a) = 0 => x_1 = 0 \& x_2 = \frac{4}{3}a\\ f(0) = 12\\f(\frac{4}{3}a) = \frac{64}{27}a^3 - \frac{32}{9}a^3 + 12 = -\frac{32}{9}a^3 + 12 > 12$

Потенциальные минимум и максимум функции находятся выше нулю, в верхней полуплоскости, а значит корень всего один.

Answer 2

Данное кубическое уравнение x^3 - ax^2 + 12 = 0 имеет коэффициент перед x^3 равный 1 (что является обычным при рассмотрении кубических уравнений). Уравнение также имеет коэффициент перед x^2 равный -a и свободный член 12.

Мы знаем, что сумма корней кубического уравнения вида x^3 + bx^2 + cx + d = 0 равна -b, а их произведение равно -d. В данном случае, сумма корней равна a (по формуле Vieta для суммы корней), а произведение корней равно -12.

Так как a < 0, это означает, что сумма корней (a) отрицательна. Также, поскольку произведение корней (-12) положительно (по модулю), и у нас есть три действительных корня, то хотя бы один из корней должен быть положительным, чтобы обеспечить положительное произведение.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы относительно знаков корней уравнения:

1. Один из корней положителен.
2. Остальные два корня в сумме дают отрицательное значение (так как их сумма равна -a).
3. Поскольку произведение корней положительно, остальные два корня не могут быть оба отрицательными. Следовательно, один из оставшихся корней отрицателен.

Итак, знаки корней таковы:

1. Положительный корень.
2. Отрицательный корень.
3. Отрицательный корень.

Таким образом, три действительных корня данного уравнения будут иметь такие знаки: "+", "-", "-".