Question

Даня задумал натуральное число, которое делится на би имеет ровно 6 делителей. Какое число мог задумать Даня? Укажите все возможные варианты.​

Answer 1

Ответ:

12, 18

Пошаговое объяснение:

Так как число делится на 6, в его разложении на простые множители должна входить хотя бы одна двойка и хотя бы одна тройка. Пусть число имеет вид $x=2^{k_1}\cdot 3^{k_2}\cdot 5^{k_3}\cdot\ldots$ Тогда количество его делителей равно $6=(k_1+1)(k_2+1)(k_3+1)\ldots$ Учитывая, что степени двойки и тройки не меньше 1, $k_1+1\geq 2, k_2+1\geq 2$. Если в числе есть хотя бы ещё один простой множитель, отличный от 2 и 3, то число делителей не меньше 2 * 2 * 2 = 8 > 6. Значит, число содержит только множители 2 и 3.

Так как 6 = 2 * 3, либо k₁ = 1, k₂ = 2, либо k₁ = 2, k₂ = 1. В первом случае x = 2·3² = 18, во втором — x = 2²·3 = 12.

Answer 2

Чтобы найти все возможные числа, которые Даня мог задумать, мы должны рассмотреть натуральные числа, имеющие ровно 6 делителей и делящиеся на би (2). В таком случае, количество делителей числа может быть представлено в виде произведения показателей степени каждого простого множителя плюс единица.

Для числа, которое делится на 2 (би), возможны следующие варианты показателей степеней простых множителей:

1. 2^5 = 32 (делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32)
2. 2^2 * 3^1 = 12 (делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12)

Таким образом, Даня мог задумать число 32 или 12.