Question

Найдите число корней уравнения: sin2x+cos2x=2tgx+1 на промежутке [0;2pi]

Answer 1

sin2x+cos2x=2tgx+1; 2sinx*cosx+1-2sin²x=2(sinx/cosx)+1; cosx≠0;

х≠π/2+πl ;l∈ Z;

sinx*cosx-sin²x-(sinx/cosx)=0;  sinx*(cosx-sinx-(1/cosx))=0; sinx=0;x=πn; n∈ Z;

Из указанного отрезка только 3 корня: х=0; х=π; х=2π.

cosx-sinx-1/cosx=0; cos²x-sinxcosx-1=0; х≠π/2+πl ;l∈ Z;-sinxcosx-sin²x=0

-sinx(cosx+sinx)=0; sinx=0  разобрано выше, (cosx+sinx)=0⇒tgx=-1;

x=-π/4+πк; k∈Z; отрезку [0;2π] принадлежат корни х=3π/4; 7π/4

Ответ 5 различных корней.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем число его корней на промежутке [0; 2π].

Уравнение: sin^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1

Используя тригонометрические тождества, мы можем преобразовать его следующим образом:

1 - cos^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1

cos^2(x) - cos^2(x) = 2tan(x)

0 = 2tan(x)

Теперь мы видим, что данное уравнение сводится к уравнению 0 = 2tan(x). Оно будет иметь корни только тогда, когда tan(x) = 0.

Значения тангенса равны нулю в точках, когда аргумент косинуса является целым кратным π. То есть:

x = 0, π, 2π

Таким образом, на промежутке [0; 2π] у уравнения sin^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1 есть три корня: 0, π и 2π.