Question

Скорость охлаждения тела пропорционально его температуре.В данный момент времени температура окружающей среды - 20 градусов. dT/dt = kT - 20 - Это формула,по которой нужно решить. Тело было нагрето до 100 градусов,через 20 минут оно остыло до 80 градусов.Определить через ,какое время оно остыло до 20 градусов. Задача связана с дифференциалами. Прошу написать решение по пунктам. Спасибо.

Answer 1

Решим этот дифур, ничего сложного

$\displaystyle\\\frac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t} = -(kT - 20)\\\frac{k\textrm{d}T}{kT-20} = -k\textrm{d}t\\\\\ln(kT - 20) = kt + C\\T = 20 + C_1\exp(-kt)$

При t=0 температура равна 100, то есть 20+С_1 = 100 и С_1=80, отсюда

$T(t) = 20 + 80\exp(-kt)$

Как мы видим, до двадцати градусов в данной модели оно остынет за бесконечное время

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эту задачу. Данная задача является задачей о процессе охлаждения и описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Давайте решим её по шагам.

Дано дифференциальное уравнение: $\frac{dT}{dt} = kT - 20$

Где $T$ - температура тела, $t$ - время, $k$ - постоянная пропорциональности, $20$ - температура окружающей среды.

1. Исходные условия: Мы знаем, что тело было нагрето до $100$ градусов и через $20$ минут остыло до $80$ градусов. Мы будем использовать эти условия для определения постоянной $k$.

   При $t = 0$, $T = 100$: $100 = k \cdot 100 - 20 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{120}{100} = 1.2$

2. Решение дифференциального уравнения: Теперь мы имеем полное дифференциальное уравнение: $\frac{dT}{dt} = 1.2T - 20$

   Давайте решим это уравнение с помощью метода разделения переменных.

   Разделим переменные и проинтегрируем: $\frac{1}{T - 20} \, dT = 1.2 \, dt$

   Интегрируем: $\ln|T - 20| = 1.2t + C$ Где $C$ - постоянная интегрирования.

   Применяем экспоненту к обеим сторонам: $|T - 20| = e^{1.2t + C}$

   Выразим это как общее уравнение: $T - 20 = \pm e^C e^{1.2t}$ Перепишем это, учитывая, что $e^C$ также является положительной константой: $T = 20 + Ce^{1.2t}$

3. Найдем константу $C$: Мы знаем, что при $t = 20$ минут, $T = 80$: $80 = 20 + Ce^{1.2 \cdot 20}$

   Решим это уравнение относительно $C$: $C = 80 - 20e^{24}$

4. Окончательное решение: Теперь мы можем использовать найденное значение $C$ для нахождения времени, через которое температура упадет до $20$ градусов.

   Подставляем $T = 20$ и найденное значение $C$ в общее уравнение: $20 = 20 + (80 - 20e^{24}) e^{1.2t}$

   Упрощаем: $e^{1.2t} = \frac{60}{20 - 20e^{24}}$

   Теперь берем натуральный логарифм от обеих сторон: $1.2t = \ln \left( \frac{60}{20 - 20e^{24}} \right)$

   Наконец, решаем это уравнение относительно $t$: $t = \frac{\ln \left( \frac{60}{20 - 20e^{24}} \right)}{1.2}$

Вычисляя данное выражение, вы получите временной интервал, через который тело остынет до $20$ градусов.