Question

На столі лежать n карток, перенумерованих числами 1, 2, 3, ..., n. Навмання беруть послідовно всі картки. Яка ймовірність того, що номери взятих карток утворюють зростаючу послідовність?​

Answer 1

Відповідь:

$\frac{1}{n!}$

Покрокове роз'яснення:

Простір елементарних подій (Ω), тобто кількість усіх рівноможливих результатів цього стохастичного (випадкового) експерименту, дорівнює перестановкам із чисел 1, 2, 3, ..., n. (n! послідовностей)

Ну і дійсно: нам же потрібно визначити, які можуть бути різні комбінації із чисел при витягуванні їх для того, щоб дізнатися, скільки є рівноможливих наслідків цього експерименту.

Якщо їх (чисел), до прикладу, буде 3, то нам потрібно визначити скільки є комбінацій із цих чисел без повторень, тобто 3! (для формули потрібно, якщо хтось ще не зрозумів)

Відповідно, кількість усіх рівноможливих результатів деякого стохастичного (випадкового) експерименту, при якому ми б послідовно витягували усі числа, пронумерованих як 1, 2, 3, ..., n, дорівнюють кількості перестановок із цих чисел, тобто n!

Сприятлива подія полягає в тому, що при витягуванні послідовно n чисел, послідовність вийде зростаючою. Така подія 1 - вона і є сприятливою.

То тепер, нехай A - це подія, при якій утвориться зростаюча послідовність, а P(A) - її ймовірність. Тоді:

$P(A) = \frac{m}{b}$, де b - кількість рівноможливих наслідків цього експерименту (n!), а m - це наслідки події A, тобто сприятливі події (1).

Відповідно маємо:

$P(A) = \frac{1}{n!}$

Answer 2

Щоб номери взятих карток утворювали зростаючу послідовність, кожна наступна карта повинна мати більший номер, ніж попередня. Якщо ми вибираємо карти послідовно, це означає, що ми не можемо повертатися до менших номерів. Отже, існує лише один спосіб, якщо ми хочемо вибрати картки в зростаючому порядку.

Якщо на столі лежать n карток, то є n! (n факторіал) можливих способів їх вибору без жодних обмежень. Проте, лише один з цих способів відповідає зростаючій послідовності.

Отже, ймовірність того, що номери взятих карток утворять зростаючу послідовність, дорівнює 1 / n!.

Наприклад, якщо n = 3, то n! = 3! = 3 * 2 * 1 = 6, і ймовірність буде 1 / 6.