Question

Найти первообразную f(x)=2/cos^2x+8^7​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

∫( f(x)=

cos

2

(3x+1)

2

−3sin(4−x)+2x

F(x) = \int{(\frac{2}{cos^2(3x+1)}-3sin(4-x)+2x)}\, dx=F(x)=

cos

2

(3x+1)

2

−3sin(4−x)+2x)dx= 2\int{\frac{1}{cos^2(3x+1)}\, dx-3\int{sin(4-x)}\, dx+2\int{x}\, dx= \frac{2}{3}\int{\frac{1}{cos^2(3x+1)}\, d(3x+1)+3\int{sin(4-x)}\, d(4-x)+2\int{x}\, dx= \frac{2}{3}tg(3x+1)-3cos(4-x)+x^2

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2/cos^2(x) + 8^7, давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

1. Первое слагаемое: 2/cos^2(x) Это интеграл секущей второй степени. Мы можем использовать тригонометрическую подстановку, чтобы решить его.

   Заметим, что sec(x) = 1/cos(x), таким образом, sec^2(x) = 1/cos^2(x). Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

   Интеграл становится: ∫ 2/cos^2(x) dx = ∫ 2 * sec^2(x) dx = ∫ 2 * (1/u^2) (-du) = -2 * ∫ du/u^2 = -2 * (-1/u) + C₁ = 2/u + C₁ = 2/cos(x) + C₁.

2. Второе слагаемое: 8^7 Это просто константа, и интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования, то есть 8^7 * x.

Итак, первообразная функции f(x) = 2/cos^2(x) + 8^7 будет: F(x) = 2/cos(x) + 8^7 * x + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.