Question

Дан правильный треугольник АВС со стороной, равной 3. Точка О- центр треугольника, ОМ-перпендикуляр к его плоскости,ОМ=1.Найти расстояния от точки М до вершин треугольника. а)корень(3) б)определить нельзя в)3 г)1 д)2

Answer 1

В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР

Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота

АК делит сторону ВС пополам.

ВС=ВК+КС

ВК=КС=3:2=1,5 - катет

АС=3 - гипотенуза

Находим  катет АК (теор.Пифагора):

АК2=АС2 - КС2

АК2=3*3 - 1,5*1,5

АК=корень из 6,75

АК=2,598

Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1

АО+ОК=3(части) - составляют 2,598

АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732

Рассмотрим треуг.АОМ

ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный

АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС

Находим АМ(теор.Пифагора):

АМ2=АО2+ОМ2

Ом=1;АО=1,732;

АМ2=1*1+1,732*1,732

АМ=корень из 4

АМ=2

Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому

Ответ :  МА=МВ=МС=2

( К сожалению, не могу выполнить рисунок.По ходу чтения решения он у Вас получится).

Удачи!