Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: параболой у=х^2, касательной к ней в точке с абсциссой х0=1, осью у

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!! Удачи!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной параболой у = х^2, касательной к ней в точке с абсциссой х0 = 1 и осью у, нужно найти точки пересечения параболы с касательной, а затем вычислить интеграл площади между параболой и осью у в заданном диапазоне.

1. Найдем уравнение касательной в точке х0 = 1. Производная параболы у = х^2 равна у' = 2х. В точке х0 = 1 производная равна 2. Уравнение касательной будет: y - y0 = m(x - x0), где y0 = 1^2 = 1, x0 = 1, m = 2. y - 1 = 2(x - 1) => y = 2x - 1.

2. Найдем точки пересечения параболы и касательной. Подставим уравнение касательной в уравнение параболы: x^2 = 2x - 1. Переносим все в одну сторону и решаем квадратное уравнение: x^2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)^2 = 0. Отсюда получаем, что точка пересечения - это (1, 1).

3. Вычислим площадь между параболой и касательной от х = 0 до х = 1. Площадь можно выразить через интеграл: S = ∫[0, 1] (парабола - касательная) dx = ∫[0, 1] (x^2 - (2x - 1)) dx = ∫[0, 1] (x^2 - 2x + 1) dx = ∫[0, 1] (x - 1)^2 dx = [1/3 * x^3 - x^2 + x]_0^1 = (1/3 * 1^3 - 1^2 + 1) - (1/3 * 0^3 - 0^2 + 0) = (1/3 - 1 + 1) - (0) = 1/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^2, касательной y = 2x - 1 в точке (1, 1), и осью у, равна 1/3 квадратных единиц.