Question

Куб, окрашенный в один цвет со всех сторон, делится на 125 равных кубиков. Сколько кубиков окрашено только с одной стороны?

Answer 1

Ответ:

54

Пошаговое объяснение:

Чертим в изометрии "прозрачный" кубик (те только его рёбра). У куба 6 граней в виде квадратов. Разлинуем мысленно верхнюю(горизонтальную) грань кубика на 25 квадратиков, и одну из боковых граней разлинуем на 5 равных горизонтальных полосок. Затем представив, что кубик из масла, "разрежем" мысленно ножом по линиям разлиновки, то получим 125 равных кубиков. Но...окрашены будут только наружные кубики! А те  малые кубики, которые образуют своими рёбрами рёбра большого кубика, уже будут иметь окраску более чем одной стороны. Итог: внутри каждой грани остаётся всего по 3×3=9 кубика, окрашенных только с одной стороны. Знаем, что граней всего 6. Т.е. всего 9×6=54 кубика.

Answer 2

Если куб разделён на 125 равных маленьких кубиков, то он разбивается на 5 слоев по 5x5 кубиков в каждом слое. Внешний слой состоит из 25 кубиков (5x5), и все эти кубики окрашены с одной стороны. Кроме того, каждый из внутренних слоев также состоит из кубиков, которые имеют одну общую грань с внешним слоем, таким образом, внутри куба также имеется 24 кубика в каждом слое (4x6 или 6x4, в зависимости от ориентации), которые окрашены только с одной стороны.

Итак, суммируя количество кубиков на внешнем слое (25) и количество кубиков в каждом из внутренних слоев (24 * 4), получим:

25 (внешний слой) + 24 * 4 (внутренние слои) = 25 + 96 = 121

Таким образом, в данном кубе окрашено только с одной стороны 121 кубик.