Question

в прямоугольном треугольнике ABC угол B прямой, BC=8, AC=16. Биссектрисы углов ABC и ACB пересекаются в точке O. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. ​

Answer 1

Ответ:

<BOC = 105°

(решение на рисунке)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться следующими свойствами биссектрис треугольника:

1. Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные остальным сторонам треугольника.
2. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех трех его сторон.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой, BC = 8 и AC = 16. Мы хотим найти величину угла BOC, где O - точка пересечения биссектрис углов ABC и ACB.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC, используя теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 AB^2 + 8^2 = 16^2 AB^2 + 64 = 256 AB^2 = 192 AB = √192 = 8√3

Теперь, используя свойство биссектрис, длина отрезка AO (биссектрисы угла BAC) будет: AO = (AB * AC) / (AB + BC) = (8√3 * 16) / (8√3 + 8) = 128√3 / (8√3 + 8) = 16√3 / (√3 + 1) = 16 * (√3 - 1)

Аналогично, длина отрезка BO (биссектрисы угла ABC) будет: BO = (AB * BC) / (AB + AC) = (8√3 * 8) / (8√3 + 16) = 64√3 / (8√3 + 16) = 8√3 / (1 + 2) = 4√3

Теперь, у нас есть равноудаленная точка O от сторон AB, AC и BC, что делает ее центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Из свойств окружности и центрального угла, угол BOC будет вдвое больше угла BAC. Таким образом, угол BOC = 2 * угол BAC.

У нас уже есть значение угла BAC: tan(BAC) = (BC / AB) = 8 / (8√3) = 1 / √3 BAC = arctan(1 / √3)

Итак, угол BOC = 2 * arctan(1 / √3).

Подставив численное значение и вычислив: угол BOC ≈ 53.13 градусов.

Итак, величина угла BOC приближенно равна 53.13 градусов.