Question

Sin2x cos2x≤1/4 помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте рассмотрим данное неравенство:

$\sin(2x) \cos(2x) \leq \frac{1}{4}$.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения выражения. Используем двойной угол для синуса и косинуса:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$2\sin(x)\cos(x) \cdot (2\cos^2(x) - 1) \leq \frac{1}{4}$.

Распишем произведение:

$4\sin(x)\cos(x)\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) \leq \frac{1}{4}$.

Для упрощения обозначим $\sin(x)\cos(x)$ как $k$:

$4k\cos^2(x) - 2k \leq \frac{1}{4}$.

Теперь давайте рассмотрим диапазон значений $k$. Поскольку $k = \sin(x)\cos(x)$, его значения находятся в диапазоне $[-1/2, 1/2]$. Значит, $4k$ находится в диапазоне $[-2, 2]$.

Таким образом, наше неравенство можно записать как:

$-2\cos^2(x) + 1 \leq \frac{1}{4}$.

И далее:

$-2\cos^2(x) \leq -\frac{3}{4}$.

Деление на отрицательное число меняет направление неравенства:

$\cos^2(x) \geq \frac{3}{8}$.

Так как $\cos^2(x)$ находится в диапазоне $[0, 1]$, данное неравенство будет выполняться, так как $\frac{3}{8}$ находится внутри этого диапазона.

Итак, неравенство $\sin(2x)\cos(2x) \leq \frac{1}{4}$ выполняется при любых допустимых значениях $x$.