Question

Упростите тригонометрическое выражение: sin2x·cosx+cos2x·sinx ___________________ cos5x·cos2x+sin5x·sin2x

Answer 1

По основным тригонометрическим формулам:
       sin(2x+x)            sin 3x
= ------------------  =  ---------------  = tg 3x
     cos (5x-2x)          cos 3x

Answer 2

Чтобы упростить данное тригонометрическое выражение, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и формулами.

Для начала, давайте применим формулу двойного угла для синуса и косинуса:

Формула двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Формула двойного угла для косинуса: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь, давайте заменим sin(2x) и cos(2x) в исходном выражении:

sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) + cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x)

2sin(x)cos(x)cos(x) + (1 - 2sin^2(x))sin(x) + cos(5x)(1 - 2sin^2(x)) + sin(5x)2sin(x)cos(x)

Упростим это выражение:

2sin^2(x)cos(x) + sin(x) - 2sin^3(x) + cos(5x) - 2sin^2(x)cos(5x) + sin(5x)2sin(x)cos(x)

Теперь, давайте применим формулу суммы для синуса:

Формула суммы для синуса: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим эту формулу к последнему члену в выражении:

sin(5x)2sin(x)cos(x) = sin(5x)(sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x)) = sin(5x)sin(2x)

Заменим это в исходном выражении:

2sin^2(x)cos(x) + sin(x) - 2sin^3(x) + cos(5x) - 2sin^2(x)cos(5x) + sin(5x)sin(2x)

Теперь можем объединить некоторые члены:

sin(x) - 2sin^3(x) + cos(5x) + sin(5x)sin(2x) + 2sin^2(x)(cos(x) - cos(5x))

Давайте упростим это выражение еще дальше:

sin(x) - 2sin^3(x) + cos(5x) + sin(5x)sin(2x) + 2sin^2(x)cos(x) - 2sin^2(x)cos(5x)

Теперь можем объединить некоторые члены еще раз:

sin(x) + 2sin^2(x)cos(x) - 2sin^3(x) + cos(5x) - 2sin^2(x)cos(5x) + sin(5x)sin(2x)

И это окончательное упрощенное тригонометрическое выражение.