Question

Помогите решить ДУ y" - 9y =4e^3x​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Данное уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, так как коэффициенты при производных не зависят от переменной $x$.

Шаг 1: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $y'' - 9y = 0$. Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения будет $r^2 - 9 = 0$, где $r$ — корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет два корня: $r_1 = 3$ и $r_2 = -3$.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

$y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x},$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Шаг 2: Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения $y'' - 9y = 4e^{3x}$ методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = A e^{3x}$, где $A$ — константа, которую нужно найти.

Подставим это предположение в исходное уравнение:

$y_p'' - 9y_p = 9A e^{3x} - 9A e^{3x} = 0.$

Чтобы сделать правую часть совпадающей с правой частью исходного неоднородного уравнения ($4e^{3x}$), мы можем умножить $y_p$ на $\frac{4}{9}$:

$y_p(x) = \frac{4}{9} A e^{3x}.$

Шаг 3: Теперь общее решение неоднородного уравнения можно записать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения:

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{4}{9} A e^{3x}.$

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.

Если у вас есть начальные условия, вы можете использовать их, чтобы найти конкретные значения постоянных $C_1$, $C_2$ и $A$.