Question

Решите пожалуйста задачу по дифференциальным уравнениям - (y')^4-(y')^2=y^2

Answer 1

я написал решение на прикреплённом листочке ===>>

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как квадратное уравнение относительно $y'$. Давайте проведем некоторые преобразования, чтобы решить его.

Пусть $v = y'$. Тогда уравнение принимает вид: $v^4 - v^2 = y^2.$

Теперь у нас есть уравнение относительно $v$. Давайте перепишем его в более компактной форме: $v^4 - v^2 - y^2 = 0.$

Это квадратное уравнение относительно $v^2$. Мы можем решить его сначала относительно $v^2$, а затем вернуться к $v$ и $y$.

$v^2 = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4y^2}}{2}.$

Теперь вернемся к $v = y'$: $y' = \pm \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{1 + 4y^2}}{2}}.$

Это даёт четыре возможных значения для производной $y'$. Мы можем рассмотреть каждый случай по отдельности. Например, для случая $y' = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{1 + 4y^2}}{2}}$ мы можем решить это дифференциальное уравнение относительно $y$ методами разделения переменных:

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{1 + 4y^2}}{2}}.$

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \sqrt{1 + 4y^2}}{2}}} dy = \int dx.$

Этот интеграл может быть сложен для решения, используя подстановку или другие методы интегрирования. Однако конкретные шаги интегрирования будут зависеть от формы подынтегрального выражения.

Аналогично, необходимо провести анализ и для других случаев.

Обратите внимание, что решение данной дифференциальной задачи может быть довольно сложным и зависит от конкретной формы интегралов, которые возникают в процессе.