Question

Задание по дифференциальным уравнениям Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным xdx+(t^2+x^2+t)dt=0 НУЖНО СРОЧНО!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА БУДУ ОЧЕНЬ БЛАГОДАРЕН

Answer 1

2xdx + 2tdt + 2(t^2 + x^2)dt = 0
d(x^2 + t^2) + 2(t^2 + x^2)dt = 0
d ln(x^2 + t^2) + d 2t = 0
ln(x^2 + t^2) + 2t = ln C
x^2 + t^2 = C exp(-2t)
x = +- sqrt(C exp(-2t) - t^2) 

Если очень хочется свести уравнение к однородному, перейдите от x к y = ln(x^2 + t^2). 
x^2 = exp(y) - t^2
x dx = exp(y)/2 dy - t dt

exp(y)/2 dy - t dt + (exp(y) + t)dt = 0
dy/2 + dt = 0 - однородное уравнение. Дальше решение совпадёт с выше написанным

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[ x \, dx + (t^2 + x^2 + t) \, dt = 0 \]

Для решения этого уравнения сначала проверим, можно ли представить его в виде полного дифференциала. Посмотрим на выражение \(t^2 + x^2 + t\) и подумаем, как можно его преобразовать. Заметим, что можно добавить и вычесть \(1/4\) внутри скобок:

\[ t^2 + x^2 + t = t^2 + t + \frac{1}{4} + x^2 - \frac{1}{4} = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + x^2 - \frac{1}{4} \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ x \, dx + \left(\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + x^2 - \frac{1}{4}\right) \, dt = 0 \]

Теперь попробуем представить его как полный дифференциал:

\[ x \, dx + \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 \, dt + x^2 \, dt - \frac{1}{4} \, dt = 0 \]

Теперь мы видим, что это выражение является полным дифференциалом:

\[ d\left(\frac{1}{3}x^3 + \left(t + \frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{4}t\right) = 0 \]

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ \frac{1}{3}x^3 + \left(t + \frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{4}t = C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.