Question

Даны четыре точки A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1) D (2,3,7). Составить уравнения: 1) плоскости ABC ; 2) прямой AB ; 3) найти расстояние от точки D до плоскости ABC .

Answer 1

Даны четыре точки A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1) D (2,3,7).

Составить уравнения:

1) плоскости ABC по точкам  A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1);

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA        y - yA      z - zA

xB - xA      yB - yA      zB - zA

xC - xA      yC - yA      zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 7           y - 2        z - 2

(-5) - 7       7 - 2       (-7) - 2

5 - 7         (-3) - 2         1 - 2

 = 0

x - 7        y - 2      z - 2

-12        5       -9

-2      -5     -1

 = 0

x - 7  5·(-1)-(-9)·(-5)  -  y - 2  (-12)·(-1)-(-9)·(-2)  +  z - 2  (-12)·(-5)-5·(-2)  = 0

(-50) x - 7  + 6 y - 2  + 70 z - 2  = 0

 - 50x + 6y + 70z + 198 = 0  или, сократив на 2

25x - 3y - 35z - 99 = 0

2) прямой AB по точкам A (7,2,2) и B (-5,7,-7) ;

Вектор АВ найден в п. 1: (-1; 5; -9).

(x - 7)/(-1) = (y - 2)/5 = (z - 2)/(-9).

3) найти расстояние от точки D до плоскости ABC .

Нормальный вектор плоскости АВС   (25; -3; -35) найден в п, 1.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |25·2 + (-3)·3 + (-35)·7 + (-99)|/ √(25² + (-3)² + (-35)²)  =  

|50 - 9 - 245 - 99| /√(625 + 9 + 1225)  =

=   303/ √1859  =   303√11/ 143  ≈ 7.0275336.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем уравнение плоскости ABC, используя точки A, B и C.

2. Найдем уравнение прямой AB.

3. Найдем расстояние от точки D до плоскости ABC.

4. Уравнение плоскости ABC: Для определения уравнения плоскости, мы можем использовать метод векторного произведения. Векторное произведение векторов AB и AC даст нам нормальный вектор плоскости, а затем мы можем использовать точку A, чтобы получить уравнение плоскости.

Вектор AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-5 - 7, 7 - 2, -7 - 2) = (-12, 5, -9) Вектор AC = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (5 - 7, -3 - 2, 1 - 2) = (-2, -5, -1)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение AB и AC: N (нормальный вектор) = AB x AC = i * ((5 * (-1) - (-9) * (-5)), j * ((-12) * (-1) - (-9) * (-2)), k * ((-12) * (-5) - 5 * (-2)))) N = i * (-35) - j * (-10) - k * (-50) N = (35i + 10j + 50k)

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости ABC. Мы можем использовать его и точку A (7, 2, 2) для записи уравнения плоскости в следующем виде: 35x + 10y + 50z = 35 * 7 + 10 * 2 + 50 * 2 35x + 10y + 50z = 245 + 20 + 100 35x + 10y + 50z = 365

Уравнение плоскости ABC: 35x + 10y + 50z = 365

2. Уравнение прямой AB: Уравнение прямой, проходящей через две точки A (7, 2, 2) и B (-5, 7, -7), можно записать в параметрической форме: x = 7 + t*(-5 - 7) y = 2 + t*(7 - 2) z = 2 + t*(-7 - 2)

Эти уравнения описывают прямую AB в параметрической форме.

3. Расстояние от точки D (2, 3, 7) до плоскости ABC: Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости ABC, а (x, y, z) - координаты точки D. В нашем случае: (A, B, C) = (35, 10, 50) (x, y, z) = (2, 3, 7)

Подставим эти значения в формулу:

d = |352 + 103 + 50*7 + 365| / sqrt(35^2 + 10^2 + 50^2)

d = |70 + 30 + 350 + 365| / sqrt(1225 + 100 + 2500)

d = |815| / sqrt(3825)

Теперь найдем численное значение:

d ≈ 815 / 61.96 ≈ 13.16 (округлим до двух десятичных знаков)

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости ABC составляет приблизительно 13.16 единиц.