Question

ПОМОГИТЕ ПЖ ОЧЕНЬ СРОЧНО РЕШИТЬ. 1)Написать уравнение линии, проходящей через точку А(-1; 0) и имеющей касательную с угловым коэффициентом, равным 2. 2)Найти общее решение дифференциального уравнения 2y'–y^3=0.

Answer 1

1) Общий вид уравнения прямой:

$y=kx+b$

По условию k=2, и прямая проходит через точку А (-1; 0)

Тогда:

$0=2\cdot (-1)+b\\b=2$

Окончательно, уравнение прямой:

$y=2x+2$

2) Это уравнение с разделяющимися переменными:

$2\cdot \frac{dy}{dx} -y^3=0\\\\2\cdot \frac{dy}{dx} =y^3\\\\2\cdot \frac{dy}{y^3}=dx\\\\2\cdot (-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{y^2}=x\\\\\frac{1}{y^2}=C-x\\\\ y^2=\frac{1}{C-x}\\\\\\\left[\begin{array}{ccc}y=\frac{1}{\sqrt{C-x}}\\\\y=-\frac{1}{\sqrt{C-x}}\end{array}\right$

Answer 2

1. Чтобы найти уравнение линии, проходящей через точку A(-1, 0) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 2, мы можем использовать формулу точечной наклонной прямой (point-slope form).

Уравнение будет иметь вид: y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки A и m - угловой коэффициент.

Подставляя значения в формулу, получаем: y - 0 = 2(x - (-1)).

Упростим уравнение: y = 2x + 2.

Таким образом, уравнение линии, проходящей через точку A(-1, 0) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 2, будет y = 2x + 2.

2. Дано дифференциальное уравнение 2y' - y^3 = 0.

Перенесем y^3 на правую сторону уравнения: 2y' = y^3.

Разделим обе части на y^3: (2/y^3)y' = 1.

Заметим, что левая часть уравнения является производной функции 2/y^3 по переменной x.

Интегрируя обе части уравнения, получаем: ∫(2/y^3)y' dx = ∫1 dx.

Сокращаем переменную дифференцирования dx и интегралы: ∫2/y^3 dy = ∫1 dx.

Вычислим интегралы: -2/y^2 = x + C.

Где С - произвольная постоянная.

Перепишем уравнение в виде: y^2 = -2/(x + C).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения 2y' - y^3 = 0 будет задаваться уравнением y^2 = -2/(x + C), где C - произвольная постоянная.