Question

Решить тригонометрическое уравнение: 1. 2cos²x - sinx + 1 = 02. 4sin²x + 8cosx - 7 = 03. cos²x + 3sinx - 3 = 0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим каждое из данных тригонометрических уравнений по очереди:

1. $2\cos^2x - \sin x + 1 = 0$:

Давайте заменим $\cos^2x$ на $1 - \sin^2x$ (используя тригонометрическое тождество $\cos^2x + \sin^2x = 1$):

$2(1 - \sin^2x) - \sin x + 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$2 - 2\sin^2x - \sin x + 1 = 0$ $3 - 2\sin^2x - \sin x = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Пусть $t = \sin x$, тогда уравнение примет вид:

$2t^2 + t - 3 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Найдем корни:

$2t^2 + t - 3 = (2t - 3)(t + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $t$:

$2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2}$

$t + 1 = 0 \Rightarrow t = -1$

Однако, так как $\sin x$ ограничен от -1 до 1, у нас нет действительных значений $x$, которые соответствовали бы $\sin x = \frac{3}{2}$. Таким образом, единственное решение для данного уравнения:

$\sin x = -1$

И решение данного уравнения:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2. $4\sin^2x + 8\cos x - 7 = 0$:

Для удобства давайте заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$ (используя тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$):

$4(1 - \cos^2x) + 8\cos x - 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$4 - 4\cos^2x + 8\cos x - 7 = 0$ $-3 - 4\cos^2x + 8\cos x = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$4t^2 - 8t - 3 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, квадратного корня или других методов. Найдем корни:

$4t^2 - 8t - 3 = (4t + 1)(t - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения $t$:

$4t + 1 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{4}$

$t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3$

Однако, так как $\cos x$ ограничен от -1 до 1, у нас нет действительных значений $x$, которые соответствовали бы $\cos x = 3$. Таким образом, единственное решение для данного уравнения:

$\cos x = -\frac{1}{4}$

И решение данного уравнения:

$x = \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

3. $\cos^2x + 3\sin x - 3 = 0$