Question

Почему при использовании метода интервала для дробных(или любых рациональных) неравенств если какой-то множитель повторяется в неравенстве четное количество раз, то при переходе через точку на оси, которая обращает этот множитель в ноль, знак на оси меняться не будет, если нечетное, то знак меняется!?

Answer 1

Ответ:

это правило другого объяснения нет

у кратких корней с четными степенями знак не меняется

у кратных корней с нечетными степенями знак меняется

Пошаговое объяснение:

грубо говоря если у тебя к примеру скобка в квадрате,то оно является четным и знак меняться не будет, со скобкой с отрицательной степенью все будет наоборот

Answer 2

Для более ясного понимания данной концепции, давайте рассмотрим этот вопрос более подробно.

При решении дробных (или рациональных) неравенств методом интервалов, нам часто нужно выяснить, когда выражение вида $\frac{f(x)}{g(x)}$ будет положительным или отрицательным, где $f(x)$ и $g(x)$ - это многочлены или функции, включающие переменную $x$.

Смена знака в выражении $\frac{f(x)}{g(x)}$ происходит, когда числитель $f(x)$ и знаменатель $g(x)$ меняют знаки одновременно. Другими словами, это происходит, когда общий множитель числителя и знаменателя обращается в ноль. Давайте рассмотрим два случая:

1. Четное количество множителей: Если какой-то множитель повторяется в числителе и знаменателе четное количество раз, то при его обращении в ноль они меняют знак одновременно, и результат деления $\frac{f(x)}{g(x)}$ остается тем же. Например, рассмотрим неравенство $\frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x - 5)} > 0$. Оба множителя $(x - 2)$ меняют знак одновременно при $x = 2$, но так как они повторяются четное количество раз (2 раза каждый), то знак деления не меняется.

2. Нечетное количество множителей: Если какой-то множитель повторяется в числителе и знаменателе нечетное количество раз, то при его обращении в ноль они меняют знаки разнонаправленно, и результат деления $\frac{f(x)}{g(x)}$ меняет знак. Например, рассмотрим неравенство $\frac{x(x - 1)}{(x - 2)(x - 3)} < 0$. Множитель $x$ меняет знак при $x = 0$, а знаменатели меняют знаки при $x = 2$ и $x = 3$, но так как $x$ повторяется нечетное количество раз (1 раз), знак деления меняется при переходе через точку $x = 0$.

Это явление связано с тем, как множители в числителе и знаменателе влияют на общее значение дроби и то, как их знаки меняются при переходе через точки, где они обращаются в ноль.