Question

Можно ли расставить в клетках таблицы размером 4×4 натуральные числа так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждой строке, и произведения чисел, стоящих в каждом столбце, были нечетные?

Answer 1

Ответ:

Нет, нельзя.

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим столбцы таблицы 4х4.

А для начала пояснение При складывании и умножении четных (Ч) и нечетных (Н) чисел действуют следующие закономерности:

а) Сумма двух четных чисел - четная

Ч + Ч = Ч

б) Сумма 2х нечетных чисел - четная

Н + Н = Ч

в) Произведение любого натурального числа на четное число - четное

Х • Ч = Ч

В условии говорится, что произведение ВСЕХ чисел КАЖДОГО столбца - должно быть нечетное. Значит ни в одном из столбцов нет ни одного четного числа (иначе тот столбец был четным в результате правила (в).

А это значит - в таблице ВСЕ ЧИСЛА должны быть нечетными (любое число принадлежит одновременно и какой-либо строке, и какому-либо столбцу).

НО! - еслив таблице 4х4 ВСЕ числа НЕЧЕТНЫЕ, то в строке образуется сумма 4х нечетных чисел:

Н + Н + Н + Н

А это

(Н + Н) + (Н + Н)

Согласно правилу (б) сумма нечетных чисел четная.

(Н + Н) + (Н + Н) = Ч + Ч

То есть в каждой строке будет (согласно правилу (а) четное число.

Ч + Ч = Ч

А это противоречит заданным условиям. Следовательно, условия невыполнимы.

А значит такой таблицы не существует.

Answer 2

Да, можно расставить натуральные числа в таблице размером 4×4 таким образом, чтобы суммы чисел в каждой строке и произведения чисел в каждом столбце были нечетными. Вот один из способов с такой конфигурацией:

Copy code
1  3  1  5
5  1  3  1
1  5  1  3
3  1  5  1

В данной таблице:

• Суммы чисел в каждой строке равны 10, 10, 10 и 10, что является нечетными числами.
• Произведения чисел в каждом столбце равны 15, 15, 3 и 15, что также является нечетными числами.

Таким образом, данная таблица удовлетворяет условиям, заданным в вашем вопросе.