Question

В треугольнике ABC биссектриса угла С перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки A, C и центр описанной окружности. Найти AB, если BC = 1.

Answer 1

Приводится графическое решение задачи в программе GeoGebra.

Answer 2

Обозначим точки следующим образом:

• $A$, $B$, $C$ - вершины треугольника $ABC$;
• $I$ - центр вписанной окружности;
• $O$ - центр описанной окружности;
• $M$ - середина стороны $AC$;
• $D$ - точка пересечения биссектрисы угла $C$ с медианой $BM$.

Из условия биссектриса угла $C$ перпендикулярна медиане $BM$, следовательно, треугольник $BCI$ прямоугольный.

Известно, что центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисе $CD$ и пересекает её. Также, центр описанной окружности $O$ лежит на той же биссектрисе $CD$, что и центр вписанной окружности $I$, и также пересекает её.

По условию, центр вписанной окружности $I$ лежит на окружности, проходящей через точки $A$, $C$ и $O$. Так как центр описанной окружности $O$ также лежит на этой окружности, то точка $O$ совпадает с этой точкой пересечения.

Теперь у нас есть следующие факты:

• $BC = 1$;
• Треугольник $BCI$ - прямоугольный;
• $I$ и $O$ совпадают.

С учётом этих фактов, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника $BCI$: $BI^2 + CI^2 = BC^2.$ Учитывая, что $BC = 1$, это уравнение можно переписать в виде: $BI^2 + CI^2 = 1.$

Так как $I$ и $O$ совпадают, давайте обозначим расстояние от точки $I$ (и $O$) до середины $AC$ как $x$. Также, обозначим $BI = a$ и $CI = b$. Тогда по свойствам медианы треугольника: $BM^2 = \frac{2(BI^2 + CI^2) - AC^2}{4}.$

Теперь мы можем подставить $BI^2 + CI^2 = 1$ и $AC = 2BM$ (так как $M$ - середина $AC$) в это уравнение: $BM^2 = \frac{2 - 2BM^2}{4}.$

Решая это уравнение относительно $BM^2$, получаем: $BM^2 = \frac{4}{9}.$

Следовательно, $BM = \frac{2}{3}$.

Наконец, по теореме Пифагора для треугольника $BCM$: $BC^2 + BM^2 = CM^2.$ Подставив значения $BC = 1$ и $BM = \frac{2}{3}$, найдем $CM$: $1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = CM^2,$ $1 + \frac{4}{9} = CM^2,$ $\frac{13}{9} = CM^2.$

Таким образом, $CM = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника $BCM$: $BC = 1$, $BM = \frac{2}{3}$ и $CM = \fra$