Question

Исследуйте функцию у = х^5−4х^3 и постройте примерный график функции

Answer 1

Ответ:

ДАНО

Y=1/5*x⁵ - 4/3*x³

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= x³*(x²/5 - 4/3). Корни: х₁,₂ = +/- 2/3*√15,  х₃ = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= x⁴ - 4*х² = х²*(х - 2)*(x+2) = 0   . 

Корни: х₁=0 , х₂ = 2, x₃ = -2. 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(-2)= 64/15 ≈ 4.3, минимум – Ymin(2)= - 64/15 . 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈[-2;2] , убывает = Х∈(-∞;-2)∪(2;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = 4*x*(x - 2)=0. 

Корни производной - точки перегиба  - x₁= 0, x₂ = √2 ≈ 1.4 x₃ = -√2. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-√2)∪[0.√2], Вогнутая – «ложка» Х∈(-√2;0])∪[√2;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(oo)Y(x)/x = ∞.  Наклонной асимптоты - нет

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, давайте последовательно проанализируем различные аспекты функции y = x^5 - 4x^3.

1. Нули функции (корни уравнения y = 0): Нули функции - это значения x, при которых y равно нулю. Решим уравнение x^5 - 4x^3 = 0: x^3(x^2 - 4) = 0 x^3(x + 2)(x - 2) = 0

Отсюда получаем три корня: x = 0, x = -2 и x = 2.

2. Производная функции: Производная функции позволяет нам определить поведение функции в различных интервалах. Найдем производную функции y по x: y' = 5x^4 - 12x^2.

3. Экстремумы и точки перегиба: Для поиска экстремумов (максимумов и минимумов) и точек перегиба, найдем вторую производную и рассмотрим её знак: y'' = 20x^3 - 24x.

Приравнивая y'' к нулю и решая уравнение, получим x = 0 и x = ±√(6/5). Проанализируем знаки второй производной в интервалах между найденными корнями:

• Для x < -√(6/5), y'' < 0 (вогнутость вверх), значит, функция выпуклая вниз.
• Для -√(6/5) < x < 0, y'' > 0 (вогнутость вниз), функция выпуклая вверх.
• Для 0 < x < √(6/5), y'' > 0 (вогнутость вверх), функция выпуклая вверх.
• Для x > √(6/5), y'' < 0 (вогнутость вверх), функция выпуклая вниз.

4. Поведение на бесконечностях: Анализируя степенную функцию, мы можем определить её поведение при x -> ±∞:

• При x -> -∞, x^5 доминирует над -4x^3, значит, функция стремится к -∞.
• При x -> ∞, x^5 также доминирует над -4x^3, функция стремится к +∞.

Теперь давайте построим примерный график функции:

luaCopy code
   |
   |       ----
   |     /       \
   |   /           \
   | /               \
   +------------------------->
   |         | | | |

На графике можно увидеть следующее:

• Функция проходит через начало координат (0, 0) и имеет корни в точках (-2, 0) и (2, 0).
• График функции складывается из двух парабол ветвями вниз, которые приближаются к вертикальной оси и асимптотически стремятся к ней.

Обратите внимание, что это всего лишь грубое приближение, и точный график может быть нарисован с использованием компьютерных графических инструментов.