Question

В треугольнике ABC С (1;2),В (5;4) проведены медианы СМ и АН, причем М (4;1) найдите а) координаты точки Н б) координаты вершины А в) длину МС г) длину АН

Answer 1

Ответ:

                $C(1;2)\ ,\ \ B(5;4)\ ,\ \ A(x;y)\ ,\ \ AM=BM\ ,\ \ M(4;1)$

a)   Так как точка Н - середина ВС , то выполняются равенства:

$x_{H}=\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3\ \ ,\ \ \ y_{H}=\dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}=\dfrac{4+2}{2}=3\\\\H(3;3)$

б)  Так как точка М - середина АВ , то выполняются равенства:

$x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{5+x_{A}}{2}=4\ \ ,\ \ 5+x_{A}=8\ ,\ \ x_{A}=3\\\\y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=\dfrac{4+y_{A}}{2}=1\ \ ,\ \ 4+y_{A}=2\ ,\ \ y_{A}=-2\\\\A(3;-2)$

в)  $MC=\sqrt{(1-4)^2+(2-1)^2}=\srqt{9+1}=\sqrt{10}$

г)  $AH=\sqrt{(3-3)^2+(3+2)^2}=\sqrt{0+25}=5$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Медианы треугольника делят друг друга в точке их пересечения в отношении 2:1. Это означает, что если точка пересечения медиан СМ и АН обозначается как точка О, то отношение длины СО к длине ОМ будет равно 2:1, и отношение длины АО к длине ОН также будет равно 2:1.

a) Координаты точки О (точки пересечения медиан) можно найти, усреднив координаты вершин треугольника: $O(x_o, y_o) = \left(\frac{1 + 5 + 4}{3}, \frac{2 + 4 + 1}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right).$

b) Теперь, зная координаты точки О, можем найти координаты вершины А. Так как отношение длины АО к длине ОН равно 2:1, то координаты точки А можно найти как утроенные координаты точки О: $A(x_a, y_a) = (3x_o, 3y_o) = \left(3 \cdot \frac{10}{3}, 3 \cdot \frac{7}{3}\right) = (10, 7).$

c) Длину медианы СМ можно найти используя формулу для расстояния между двуми точками: $CM = \sqrt{(x_m - x_c)^2 + (y_m - y_c)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.$

d) Длину медианы АН также можно найти используя формулу для расстояния между точками: $AN = \sqrt{(x_n - x_a)^2 + (y_n - y_a)^2} = \sqrt{(5 - 10)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.$

Итак, получаем: а) Координаты точки Н: $Н\left(\frac{20}{3}, \frac{14}{3}\right)$. б) Координаты вершины А: $А(10, 7)$. в) Длина медианы СМ: $\sqrt{10}$. г) Длина медианы АН: $\sqrt{34}$.