Question

Вычислите lim x->pi/2 (sinx)^tgx через формулу lim f (x)^g(x)=e^lim g(x) ln f(x)

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x^{\tan x}=\exp(\lim_{x\to\frac\pi2}\tan x\ln\sin x)=\exp(\lim_{x\to\frac\pi2}\dfrac{\tan x}{\ln\sin x^{-1}})=\exp(\lim_{x\to\frac\pi2}\dfrac{\tan x'}{\ln\sin x^{-1}'})=\exp(\lim_{x\to\frac\pi2}\dfrac{\frac{1}{\cos^2x}}{-\frac{\cos x}{\ln\sin x^2*\sin x}})=\exp(-\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\ln\sin x^2*\sin x}{\cos^3x})=\exp(-\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\ln\sin\frac\pi2^2*\sin\frac\pi2}{\cos\frac\pi2^3}=\exp(-\frac01)=\exp0=1$

Answer 2

Для вычисления данного предела воспользуемся формулой:

lim x->a f(x)^g(x) = e^(lim x->a g(x) ln f(x))

В данном случае, a = π/2, f(x) = sin(x), g(x) = tg(x). Подставим значения в формулу:

lim x->π/2 (sin(x))^tg(x) = e^(lim x->π/2 tg(x) ln sin(x))

Теперь остается найти предел lim x->π/2 tg(x) ln sin(x). Обратим внимание, что функция ln sin(x) не определена в точке x = π/2, поэтому мы не можем непосредственно подставить эту функцию в формулу.

Однако, мы можем воспользоваться фактом, что ln sin(x) ~ ln (x - π/2) при x -> π/2. То есть, приближенно, ln sin(x) равно ln (x - π/2) в окрестности точки x = π/2.

Таким образом, можно записать:

lim x->π/2 (sin(x))^tg(x) = e^(lim x->π/2 tg(x) ln (x - π/2))

Теперь рассмотрим предел lim x->π/2 tg(x) ln (x - π/2). Используя формулу для предела произведения, можем записать:

lim x->π/2 tg(x) ln (x - π/2) = (lim x->π/2 tg(x)) * (lim x->π/2 ln (x - π/2))

Очевидно, что предел первого множителя равен бесконечности, так как tg(x) стремится к бесконечности в точке x = π/2. Однако, предел второго множителя не существует, так как ln (x - π/2) неопределен в окрестности точки x = π/2.

Следовательно, предел lim x->π/2 (sin(x))^tg(x) не может быть вычислен с использованием данной формулы.