Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой y=x^3-12x^2+1

Answer 1

Ответ:

Алгоритм:

а)взять первую производную

б) вычислить значения х, при которых первая производная равна 0

в) вычислить вторую производную и её знаки при значения х которые получили в пункте(б)

г) исследовать поведение второй производной в этих точках.

Итак:

первая производная: 3х²-24х

3х²-24х=0 при х=0   и  х=8

вторая производная: 6х-24 при х=0 меньше 0, а это значит, что функция у(максимум)(т.е выпуклость)=1 при х=0

                                       6х-24 при х=8 больше 0, а это значит, что функция у(минимум)(т.е вогнутость)=-255(но нас это по условию задачи не интересует)

Удачи!

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой $y = x^3 - 12x^2 + 1$, нам понадобится анализ второй производной функции $y$ и выявление её знаков.

1. Найдем первую производную: $y' = 3x^2 - 24x.$

2. Найдем вторую производную: $y'' = 6x - 24.$

Теперь найдем точки, где $y''$ равно нулю: $6x - 24 = 0 \Rightarrow x = 4.$

Точка $x = 4$ является кандидатом на точку перегиба. Теперь мы можем использовать тест второй производной, чтобы определить характер точки перегиба:

• Если $y'' > 0$ на интервале слева от $x = 4$, то точка перегиба в этой точке будет выпуклой.
• Если $y'' < 0$ на интервале слева от $x = 4$, то точка перегиба будет вогнутой.

3. Проанализируем знаки второй производной:

• Для $x < 4$: $6x - 24 < 0$, следовательно, точка перегиба при $x = 4$ будет вогнутой.
• Для $x > 4$: $6x - 24 > 0$, что означает, что кривая будет выпуклой на этом интервале.

Итак, у нас есть точка перегиба в $x = 4$, где кривая меняет направление выпуклости.

Чтобы найти промежутки выпуклости, нам нужно также определить, где $y''$ положительна или отрицательна:

• Если $y'' > 0$, то функция выпуклая на этом интервале.
• Если $y'' < 0$, то функция вогнута на этом интервале.

Мы уже определили, что $y'' > 0$ для $x > 4$ и $y'' < 0$ для $x < 4$. Таким образом, промежутки выпуклости и вогнутости следующие:

• Функция выпуклая ($y'' > 0$): $x > 4$.
• Функция вогнутая ($y'' < 0$): $x < 4$.

Итак, кривая $y = x^3 - 12x^2 + 1$ будет выпуклой на интервале $x > 4$ и вогнутой на интервале $x < 4$. Точка перегиба находится в точке $x = 4$.