Question

2.В равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана ВМ к основанию АС. На продолжении медианы ВМ за точку М отмечена точка D так, что ВМ=М D. Докажите, что треугольник ВСD является равнобедренным.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Полученный треугольник МДС и треугольник МВС равны по двум сторонам и углу между ними. ВМ=МД (по условию), Медиана в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой и высотой. Отсюда угол ВМС = углу СМД = 90 градусов. МС - сторона общая для треугольников. Отсюда ВС=СД, следовательно треугольник ВСД равнобедренный

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника BCD (то есть равенства сторон BC и CD) можно воспользоваться свойствами медиан в треугольниках.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC и медианой BM. Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM является биссектрисой угла B.

Обозначим точку пересечения медианы BM и биссектрисы угла B как точку I (см. рисунок ниже), а точку пересечения продолжения медианы BM и продолжения биссектрисы угла B за точку E.

cssCopy code
      B
     / \
    /   \
   /  I  \
  /       \
 /___E_____\
A     M     C

Так как BM - медиана, она делит основание AC пополам. То есть, AM = MC.

Также, так как BM - биссектриса угла B, то угол ABM равен углу CBM.

Рассмотрим треугольники AME и CME:

1. AM = MC (по свойству медианы).
2. Угол ABM = Угол CBM (по свойству биссектрисы).

Таким образом, по стороне и двум углам треугольники AME и CME подобны. Следовательно, их соответственные стороны пропорциональны:

AM / CM = ME / ME

AM = CM

Это означает, что треугольник ACM - равнобедренный, и AC = CM.

Так как AM = MC, и BM - медиана, то точка I (точка пересечения медианы и биссектрисы) является серединой отрезка BM.

Теперь обратимся к треугольнику BCD:

BC = AC (так как ABC - равнобедренный треугольник). AC = CM (доказано выше).

Следовательно, BC = CM.

Итак, мы получили, что BC = CM и BC = CD. Следовательно, треугольник BCD является равнобедренным, так как у него две равные стороны BC и CD.

Таким образом, треугольник BCD - равнобедренный, что и требовалось доказать.