Question

X²y'=y²+4xy+2x² помогите пожалуйста ​

Answer 1

Решение смотрим на фото.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Оно имеет вид:

$x^2y' = y^2 + 4xy + 2x^2$

Давайте попробуем преобразовать его в более удобный вид. Разделим обе стороны на $x^2$:

$y' = \frac{y^2}{x^2} + 4\frac{y}{x} + 2$

Теперь проведем замену переменной, полагая $u = \frac{y}{x}$, откуда $y = ux$ и $y' = u'x + u$. Подставим это обратно в уравнение:

$u'x + u = u^2 + 4u + 2$

Теперь поделим обе стороны на $x$:

$u' + \frac{u}{x} = u^2 + 4u + 2$

Теперь полученное уравнение можно решить как линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Используем интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln{x}} = x$. Умножим обе стороны на $x$:

$xu' + u = x(u^2 + 4u + 2)$

Теперь левую часть можно представить как производную произведения $(xu)$:

$\frac{d}{dx} (xu) = x(u^2 + 4u + 2)$

Интегрируем обе стороны:

$xu = \int x(u^2 + 4u + 2) dx + C$

$xu = \frac{u^3}{3}x + 2u^2x + 2x + C$

Подставляем обратно $u = \frac{y}{x}$:

$y = \frac{y^3}{3x^2}x + 2\frac{y^2}{x}x + 2x^2 + Cx$

$y = \frac{y^3}{3x} + 2yx + 2x^2 + Cx$

Это общее решение дифференциального уравнения.