Question

Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 144 куб. единиц, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?​

Answer 1

Ответ:

ширина и высота³√72

длина2*³√72

Пошаговое объяснение:

вроде как два кубика вместе

³√(144/2)=4.16 округлённо ширина и высота

4.16*2=8.32 длина

Answer 2

Давайте обозначим стороны ящика следующим образом: Пусть длина основания будет равна "х" единицам, а ширина основания будет "2х" единицам (согласно отношению 1:2).

Высоту ящика обозначим как "у" единиц.

Объем ящика равен длине * ширине * высоте: V = x * 2x * у = 2x^2 * у

У нас есть данное условие: V = 144 куб. единиц, поэтому:

2x^2 * у = 144

Разрешим это уравнение относительно "у":

у = 144 / (2x^2) у = 72 / x^2

Теперь выразим поверхность ящика в терминах "x" и "у". Поверхность состоит из площадей всех шести сторон:

Площадь верхней крышки: x * 2x = 2x^2 Площадь нижней крышки: x * 2x = 2x^2 Площади боковых сторон: 2 * (2x * у) + 2 * (x * у) = 4xy + 2xy = 6xy

Общая площадь поверхности: 2x^2 + 2x^2 + 6xy = 4x^2 + 6xy

Теперь подставим значение "у", которое мы выразили ранее:

Общая площадь = 4x^2 + 6 * (72 / x^2)

Общая площадь = 4x^2 + 432 / x^2

Теперь нам нужно минимизировать эту функцию. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

d(Общая площадь)/dx = 8x - 864 / x^3

8x - 864 / x^3 = 0

8x^4 = 864

x^4 = 108

x = ∛108

x ≈ 4.481

Так как ширина составляет 2x, ширина ≈ 8.962 единиц.

Теперь мы можем использовать найденные значения "x" и "2x" для длины и ширины, а значение "у" можно найти, подставив "x" в выражение, которое мы получили ранее:

у = 72 / x^2 у ≈ 72 / (4.481)^2 у ≈ 3.985

Итак, оптимальные размеры, при которых полная поверхность ящика будет наименьшей, составляют примерно: Длина: около 4.481 единиц Ширина: около 8.962 единиц Высота: около 3.985 единиц