Question

Помогите пожалуйста! СРОЧНО!!! Специальная математика. У Паши и Васи есть много карточек со всеми цифрами. Они по очереди выкладывают в один ряд карточки так, чтобы получилось десятизначное число. Первым выкладывает карточку Вася. Докажите, что какие бы карточки он не выкладывал, Паша всегда сможет добиться того, чтобы получившееся число делилось на 9.

Answer 1

Ответ:

В объяснении

Пошаговое объяснение:

Любое число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Паша должен класть ту цифру, сумма которой вместе с Васиной будет 9.

Например:

0 и 9

1 и 8

2 и 7

3 и 6

4 и 5

5 и 4

6 и 3

7 и 2

8 и 1

9 и 0

Answer 2

Давайте рассмотрим свойства чисел, которые делятся на 9. Основное свойство числа, делящегося на 9, заключается в том, что сумма его цифр также делится на 9. Например, 18, 27, 36 и так далее. Давайте воспользуемся этим свойством для доказательства утверждения.

Пусть Вася выложил какие-то карточки и получилось десятизначное число. Обозначим это число как ABCDEFGHIJ, где каждая из букв представляет цифру, выложенную Васей на соответствующей позиции. То есть A - первая цифра, B - вторая цифра и так далее.

Сумма всех цифр этого числа равна:

S = A + B + C + D + E + F + G + H + I + J

По свойству чисел, делящихся на 9, эта сумма также должна делиться на 9.

Теперь давайте рассмотрим сумму цифр числа, которое получится, если Паша поменяет какие-то две карточки местами. Пусть он поменяет местами цифры на позициях i и j (где i ≠ j). Обозначим новое число как ABC...I...J, то есть только цифры i и j поменялись местами.

Сумма цифр нового числа равна:

S' = A + B + C + ... + I + ... + J - цифра на позиции i + цифра на позиции j

Мы можем записать это как:

S' = S - цифра на позиции i + цифра на позиции j

Так как мы только поменяли местами две цифры, изменение суммы цифр оказалось равным разнице между этими двуми цифрами.

Теперь вспомним, что S (сумма цифр изначального числа) делится на 9. А это означает, что любое число вида S - 9k, где k - некоторое целое число, также будет делиться на 9. В нашем случае S' = S - цифра на позиции i + цифра на позиции j. Это можно записать как S - (цифра на позиции i + цифра на позиции j), что соответствует виду S - 9k. Следовательно, S' также делится на 9.

Это означает, что независимо от того, какие карточки поменяют местами Вася и Паша, сумма цифр числа, получившегося после хода Паши, всегда будет делиться на 9. А значит, само это число также будет делиться на 9.

Итак, мы доказали, что Паша всегда сможет добиться того, чтобы получившееся число делилось на 9, независимо от того, какие карточки выложил Вася.