Question

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА z^2+(1+2i) z-3i=0 ​

Answer 1

Ответ:

$z=-\dfrac12-i\pm\dfrac12\sqrt[4]{265}\Bigg(\sin\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)+i\cos\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)\Bigg)$

Пошаговое объяснение:

$z^2+(1+2i)z-3i=0\\z=\dfrac{-1-2i\pm\sqrt{(1+2i)^2+12i}}{2}\\z=\dfrac{-1-2i\pm\sqrt{1+4i-4+12i}}{2}\\z=\dfrac{-1-2i\pm\sqrt{-3+16i}}{2}\\z=-\dfrac12-i\pm\dfrac12\sqrt{16i-3}$

Извлечем корень:

$z = 16i-3\\|z|=-\sqrt{16^2+3^2}=-\sqrt{256+9}=-\sqrt{265}\\\arg z=\b{arctg}\bigg(-\dfrac{16}{3}\bigg)=-\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)$

тогда по формуле Мурава$\sqrt z=z^\frac12=|z|^\frac12\Bigg(\cos\dfrac12\arg z+i\sin \dfrac12\arg z\Bigg)=\sqrt[4]{265}\Bigg(\sin\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)+i\cos\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)\Bigg)$Запишем ответ

$z=-\dfrac12-i\pm\dfrac12\sqrt[4]{265}\Bigg(\sin\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)+i\cos\dfrac12\b{arctg}\bigg(\dfrac{16}3\bigg)\Bigg)$

Answer 2

Данное уравнение является квадратным уравнением с комплексными коэффициентами. Форма уравнения:

z^2 + (1 + 2i)z - 3i = 0.

Для решения этого уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением:

z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где у нас есть квадратное уравнение вида az^2 + bz + c = 0. В данном случае, коэффициенты a, b и c:

a = 1, b = 1 + 2i, c = -3i.

Подставив значения коэффициентов в формулу, получим:

z = (-(1 + 2i) ± √((1 + 2i)^2 - 4 * 1 * -3i)) / (2 * 1).

Вычислим значение подкоренного выражения:

(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i.

Таким образом,

z = (-(1 + 2i) ± √((-3 + 4i) - 4 * -3i)) / 2.

z = (-1 - 2i ± √(-3 + 7i)) / 2.

Далее, вычислим квадратный корень из (-3 + 7i):

√(-3 + 7i) = a + bi, где a и b - действительные числа.

(a + bi)^2 = -3 + 7i, a^2 + 2abi - b^2 = -3 + 7i.

Из этой системы уравнений можно получить два уравнения:

a^2 - b^2 = -3, 2ab = 7.

Из второго уравнения можно найти b:

b = 7 / (2a).

Подставляем это значение b в первое уравнение:

a^2 - (7 / (2a))^2 = -3.

Решая это уравнение, можно найти a и, следовательно, b. После нахождения a и b, вы сможете найти значения z.

Обратите внимание, что вычисления могут быть сложными, так как они включают комплексные числа и уравнения с квадратными корнями.