Question

Преобразуйте в произведения данное выражение: sin(α+π/4)+sin(α−π/4)

Answer 1

sin(α+π/4)+sin(α−π/4)

Answer 2

Для преобразования данного выражения в произведение, мы можем воспользоваться формулой суммы для синуса:

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.$$

Применим эту формулу к выражению:

$$\sin(\alpha + \pi/4) + \sin(\alpha - \pi/4) = \sin \alpha \cos (\pi/4) + \cos \alpha \sin (\pi/4) + \sin \alpha \cos (-\pi/4) + \cos \alpha \sin (-\pi/4).$$

Заметим, что $\cos (\pi/4) = \cos (-\pi/4) = \sin (\pi/4) = \sin (-\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha.$$

Теперь объединим подобные слагаемые:

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha\right) = \sqrt{2} \cdot \sin \alpha.$$

Итак, преобразованное выражение:

$$\sin(\alpha + \pi/4) + \sin(\alpha - \pi/4) = \sqrt{2} \cdot \sin \alpha.$$