Question

Найти производную y= xarcsin√1-x^2

Answer 1

Ответ:

$-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}} \sqrt{x^{2}}} + arcsin(\sqrt{1-x^{2}} )$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = xarcsin(√(1-x^2)) воспользуемся правилом производной произведения функций и цепного правила (chain rule).

Сначала найдем производную внутренней функции f(u) = arcsin(u):

f'(u) = 1 / √(1 - u^2)

Теперь применим цепное правило, предполагая, что u = √(1 - x^2):

y = xarcsin(√(1 - x^2)) y = x * f(u)

Производная y по x:

y' = x' * f(u) + x * f'(u) * u'

x' = 1 (производная по x) f(u) = arcsin(√(1 - x^2)) f'(u) = 1 / √(1 - u^2) u' = (√(1 - x^2))'

Для нахождения (√(1 - x^2))' применим правило производной композиции функций:

(√(1 - x^2))' = (1/2) * (1 - x^2)^(-1/2) * (-2x) = -x / √(1 - x^2)

Теперь мы можем выразить производную y по x:

y' = 1 * arcsin(√(1 - x^2)) + x * (1 / √(1 - √(1 - x^2)^2)) * (-x / √(1 - x^2)) = arcsin(√(1 - x^2)) - (x^2) / √(1 - x^2)

Итак, производная функции y = xarcsin(√(1-x^2)) равна:

y' = arcsin(√(1 - x^2)) - (x^2) / √(1 - x^2)