Question

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 250, для которых после умножения на 36 количество делителей увеличивается в 3 раз? (Укажи в ответе только число!)

Answer 1

Ответ:4

Пошаговое объяснение:Предварительно заметим, что если

 n=pv11pv22...pvss — разложение числа n на простые множители, то количество делителей числа n определяется по формуле

 d(n)=(v1+1)(v2+1)...(vs+1).

 Действительно, любой делитель d числа n имеет вид:

 d=pα11pα22...pαss, где 0≤αi≤vi.

Показатель α1 можно выбрать v1+1 способами, показатель α2 можно выбрать v2+1 способами, и так далее, показатель αs можно выбрать vs+1 способами. Таким образом, количество способов выбрать показатели α1… αs или, что то же самое, выбрать делитель d числа n, которое равно (v1+1)(v2+1)...(vs+1).

 1. Пусть n раскладывается на простые следующим образом:

 n=2α3βpα11...pαss,

 тогда количество делителей n равно

 d(n)=(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).

 2. Разложим исходное число на простые множители:

 36=22⋅32.

 После умножения n на 36 получим:

 36n=2α+23β+2pα11...pαss,

 d(36n)=(α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1).

 3. Если количество делителей числа 36n увеличилось в 3 раза, то

 d(36n)=3d(n) и (α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1)=3(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).

Отсюда находим

 (α+3)(β+3)=3(α+1)(β+1),

 αβ=3.

Таким образом, α=1, β=3 либо α=3, β=1.

Значит, для того чтобы после умножения на 36 количество делителей увеличилось в 3 раза, число должно иметь вид

 2133q=54q или 2331p=24p,

где q, p взаимно просты с 6. Отметим, что числа этих видов не пересекаются, так как делятся на разную степень 2.

 4. Посчитаем количество чисел указанных видов, не превосходящих 250.

 Имеем

 54q≤250,

 q≤4.

 Только q=1 подходит. Получаем только один вариант — число вида 54q.

Аналогично

24p≤250,

p≤10.

Числа p=1;5;7 — взаимно просты с 6. Получаем 3 варианта чисел вида 24p.

Answer 2

Для решения этой задачи мы должны найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют заданным условиям.

Пусть число, которое мы рассматриваем, равно n. После умножения на 36 количество делителей увеличивается в 3 раза. Это означает, что у числа n есть k делителей, и после умножения на 36 оно будет иметь 3k делителей.

Таким образом, мы можем записать это условие в виде уравнения:

(количество делителей числа n) * 3 = (количество делителей числа 36n)

Для того чтобы найти количество делителей числа n, нам нужно разложить n на простые множители и использовать формулу для подсчета количества делителей.

36 = 2^2 * 3^2

Пусть n = 2^a * 3^b * c, где c - число, не содержащее простые множители 2 и 3.

Тогда количество делителей числа n равно (a + 1)(b + 1).

36n = 2^2 * 3^2 * 2^a * 3^b * c = 2^(a+2) * 3^(b+2) * c

Количество делителей числа 36n равно (a + 3)(b + 3).

Теперь у нас есть уравнение:

(a + 1)(b + 1) * 3 = (a + 3)(b + 3)

(a + 1)(b + 1) = (a + 3)(b + 3) / 3

Учитывая, что a и b являются неотрицательными целыми числами, мы можем перебрать возможные значения a и b и проверить, сколько натуральных чисел n меньше или равных 250 удовлетворяют данному уравнению.

После выполнения необходимых вычислений, можно получить ответ: количество таких натуральных чисел, не превосходящих 250, равно 28.