Question

Вычислить корень из комплексного числа

Answer 1

Решение приложено...

Answer 2

Корень из комплексного числа вычисляется аналогично вычислению корня из вещественного числа, но с учетом того, что комплексные числа имеют действительную и мнимую части. Формула для вычисления корня из комплексного числа z = a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица, выглядит следующим образом:

Корень n-й степени из z:
√z = √(r * (cos(θ) + i * sin(θ)))

где r = |z| = √(a^2 + b^2) - модуль комплексного числа, а θ = arg(z) = arctan(b/a) - аргумент комплексного числа.

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа. Затем подставим их в формулу для корня n-й степени.

Пример: Пусть нам нужно вычислить квадратный корень из комплексного числа z = 3 + 4i.

1. Модуль комплексного числа: |z| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. Аргумент комплексного числа: θ = arctan(4/3) ≈ 0.93 радиан (или около 53.13 градусов).

Теперь подставим значения в формулу для корня:

√z = √(5 * (cos(0.93) + i * sin(0.93)))

Вычислить точные значения cos(0.93) и sin(0.93) можно с помощью калькулятора или математического программного обеспечения. Полученные значения можно округлить до нужной точности.

Заметьте, что корень из комплексного числа не всегда будет иметь однозначное значение, так как комплексные числа могут иметь несколько аргументов (фаз), и корень будет иметь соответствующее количество значений.