Question

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: y'=y/ln y ,при x=2 , x=1​

Answer 1

$y'=\dfrac{y}{lny}\ \ ,\ \ x=2\ \ ,\ \ y(2)=1\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{lny}\\\\\\\int \dfrac{lny\cdot dy}{y}=\int dx\\\\\int lny\cdot \dfrac{dy}{y}=\int dx\\\\\\\dfrac{ln^2y}{2}=x+C\\\\y(2)=1:\ \dfrac{ln^21}{2}=2+C\ \ ,\ \ 0=2+C\ \ ,\ \ C=-2\\\\\\\dfrac{ln^2y}{2}=x-2$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Начнем с исходного уравнения:

y' = y / ln(y)

Давайте разделим переменные, переместив все, что связано с y, на одну сторону, а все, что связано с x, на другую сторону:

dy / y = dx / ln(y)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(1/ln(y)) dx

Интегрируя левую сторону по y и правую сторону по x, получим:

ln|y| = x + C₁

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь выразим y:

|y| = e^(x + C₁) = e^x * e^(C₁)

Мы можем объединить постоянное значение e^(C₁) как новую константу C:

|y| = C * e^x

Так как выражение |y| представляет собой абсолютное значение, то у нас есть два возможных случая:

1. y = C * e^x, где C > 0.
2. y = -C * e^x, где C > 0.

Оба этих случая удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению.

Теперь, чтобы найти конкретное решение при данных начальных условиях, x = 1 и x = 2, нам необходимо использовать эти условия.

Подставим x = 1:

y(1) = C * e^1 = C * e

Подставим x = 2:

y(2) = C * e^2

Таким образом, частное решение зависит от константы C, которая определяется начальными условиями.