Question

Интегральные исчесления ..способ подстановки 1)xdx/корень a^2-x^2 2)2x+1/x^2+x+1 dx

Answer 1

$1.~~\displaystyle \int {\dfrac{x~dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\dfrac{-2x~dx}{-2\sqrt{a^2-x^2}}=-\dfrac12\int\dfrac{d(-x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\dfrac12\int\dfrac{dt}{\sqrt{a^2+t}} ~~((t=-x^2))~=$$=\displaystyle -\dfrac12 \int \dfrac{d(t+a^2)}{\sqrt{t+a^2}}=-\dfrac12\int\dfrac{ds}{\sqrt s}~~ ((s=t+a^2))~=-\dfrac12\cdot2\cdot\sqrt s=-\sqrt{a^2+x^2}+const$

$2. \displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} dx=\int \dfrac{u'(x)dx}{u(x)}~((u(x)=x^2+x+1))~=\int\dfrac{du}u=\ln u+const=\ln(x^2+x+1)+const$

Answer 2

Давайте рассмотрим оба интеграла с помощью метода подстановки.

1. Интеграл: ∫(xdx / √(a^2 - x^2))

Для этого интеграла давайте воспользуемся подстановкой x = a*sin(u), где u - угол в радианах.

Тогда: dx = a*cos(u)du √(a^2 - x^2) = acos(u)

Теперь заменяем все в интеграле: ∫(asin(u)acos(u)du / (acos(u))) = ∫(a^2sin(u)cos(u)/adu)

Упрощаем: ∫(a*sin(u)*cos(u)du)

Теперь интегрируем: ∫(1/2asin(2u)du)

Это стандартный интеграл, и его можно легко решить: (1/2a) * (-1/2 * cos(2u)) + C = -(1/4a) * cos(2u) + C

Теперь возвращаемся к исходной переменной x: = -(1/4a) * cos(2u) + C = -(1/4a) * cos(2 * arcsin(x/a)) + C

2. Интеграл: ∫((2x + 1) / (x^2 + x + 1)dx)

Для этого интеграла можно воспользоваться методом дробных частей. Сначала разложим дробь на части:

2x + 1 = 2(x^2 + x + 1) - 2x^2 - 2x

Теперь интегрируем каждую из частей по отдельности:

∫(2(x^2 + x + 1)dx) - ∫(2x^2 + 2x)/(x^2 + x + 1)dx

Первый интеграл: 2∫(x^2 + x + 1)dx = (2/3)x^3 + x^2 + 2x + C₁

Второй интеграл: ∫(2x^2 + 2x)/(x^2 + x + 1)dx

Для второго интеграла можно воспользоваться методом долгого деления или разложения на частные дроби. После этого выполните интегрирование.

Итак, вам нужно разложить дробь на части и выполнить интегрирование с учетом этого разложения.