Question

В некоторой большой популяции число черноволосых и рыжих одинаково. Замечено, что у 30% людей с черными волосами глаза голубые, так же, как и у 50% людей с рыжими волосами. Из тех, у кого черные или рыжие волосы, случайно выбирают одного человека и оказывается, что у него голубые глаза. Какова вероятность того, что у этого человека черные волосы?

Answer 1

Ответ:

2/3

Пошаговое объяснение:

по формуле Байеса получим

Р=(0,5*0,6)/(0,5*0,6+0,5*0,3)=0,3/0,45=2/3

Answer 2

Давайте введем следующие обозначения:

• Пусть событие A обозначает то, что у выбранного человека черные волосы.
• Пусть событие B обозначает то, что у выбранного человека голубые глаза.

Мы хотим найти вероятность P(A|B) — то есть вероятность того, что у выбранного человека черные волосы, при условии, что у него голубые глаза.

Из условия задачи мы знаем:

• P(A) = P(рыжие волосы) = P(черные волосы) (так как число черноволосых и рыжих одинаково)
• P(голубые глаза|черные волосы) = 0.30 (30% людей с черными волосами имеют голубые глаза)
• P(голубые глаза|рыжие волосы) = 0.50 (50% людей с рыжими волосами имеют голубые глаза)

Мы можем использовать теорему Байеса для нахождения P(A|B):

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

Для нахождения P(B) мы можем использовать полную вероятность:

$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)$

где $\neg A$ обозначает отсутствие черных волос.

Из условия задачи, P(B|A) = 0.30 и P(B|\neg A) = 0.50 (по аналогии с рыжими волосами). Также, так как популяция равномерна по черным и рыжим волосам, то $P(A) = P(\neg A)$.

Теперь подставим все значения в формулы:

$P(B) = 0.30 \cdot P(A) + 0.50 \cdot P(A) = 0.80 \cdot P(A)$

И теперь можем вычислить P(A|B):

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0.30 \cdot P(A)}{0.80 \cdot P(A)} = \frac{0.30}{0.80} = 0.375$

Итак, вероятность того, что у выбранного человека с голубыми глазами черные волосы, составляет 37.5%.