Question

Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 50 мм и средним квадратическим отклонением 6 мм. Найти дифференциальную и интегральную функции распределения, построить их графики. Определить числовые характеристики. Найти вероятность того, что длина произвольно взятой детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 2,5 мм. Проиллюстрировать решение задачи графически.

Answer 1

Ответ: см фото. Вероятность равна 0,324.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для данной задачи мы имеем нормальное распределение с параметрами:

• Математическое ожидание (μ) = 50 мм
• Среднее квадратическое отклонение (σ) = 6 мм

1. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) нормального распределения имеет вид:

   f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))

   Подставляя значения параметров:

   f(x) = (1 / (6 * √(2π))) * e^(-((x - 50)^2) / (2 * 6^2))

2. Интегральная функция распределения (функция Лапласа) будет выглядеть так:

   F(x) = ∫[от -∞ до x] f(t) dt

   Мы можем вычислить интеграл численно или воспользоваться стандартными инструментами для этого.

3. Для построения графиков дифференциальной и интегральной функций распределения, а также определения числовых характеристик, нам потребуется использовать программное обеспечение для математических вычислений, такое как Python с библиотеками NumPy и SciPy.

   Вот пример Python-кода для построения графиков и вычисления числовых характеристик:

pythonCopy code
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры распределения
mu = 50
sigma = 6

# Диапазон значений для x
x = np.linspace(mu - 3 * sigma, mu + 3 * sigma, 1000)

# Вычисление дифференциальной функции распределения (плотности вероятности)
pdf = stats.norm.pdf(x, mu, sigma)

# Вычисление интегральной функции распределения
cdf = stats.norm.cdf(x, mu, sigma)

# Построение графиков
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, pdf, label='PDF')
plt.title('Дифференциальная функция распределения')
plt.xlabel('Длина детали (мм)')
plt.ylabel('Вероятность')
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, cdf, label='CDF')
plt.title('Интегральная функция распределения')
plt.xlabel('Длина детали (мм)')
plt.ylabel('Вероятность')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# Вычисление числовых характеристик
mean = stats.norm.mean(mu, sigma)
variance = stats.norm.var(mu, sigma)
std_deviation = stats.norm.std(mu, sigma)

print(f"Среднее значение: {mean:.2f} мм")
print(f"Дисперсия: {variance:.2f} мм^2")
print(f"Среднеквадратическое отклонение: {std_deviation:.2f} мм")

# Вычисление вероятности отклонения не более чем на 2.5 мм от среднего значения
prob = stats.norm.cdf(mu + 2.5, mu, sigma) - stats.norm.cdf(mu - 2.5, mu, sigma)
print(f"Вероятность отклонения не более чем на 2.5 мм от среднего значения: {prob:.4f}")

Этот код создает графики дифференциальной и интегральной функций распределения, а также вычисляет числовые характеристики и вероятность отклонения длины детали не более чем на 2.5 мм от среднего значения.