Question

Докажите тождество пожалуйста 1 - cos a/sin a = tg a/2​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для доказательства данного тождества используем тригонометрические идентичности. В начале домножим обе стороны уравнения на sin(a/2), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

1 - cos(a)/sin(a) = tan(a/2)

Теперь мы можем использовать несколько тригонометрических идентичностей:

1. tan(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2) - это определение тангенса половинного угла.
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) - это формула удвоения угла.

Рассмотрим выражение sin(a/2) / cos(a/2):

sin(a/2) / cos(a/2) = (2sin(a/2)cos(a/2)) / (2cos^2(a/2))

Теперь используем формулу удвоения угла для sin(2x):

= (sin(a)) / (2cos^2(a/2))

Теперь мы можем подставить это значение в исходное уравнение:

1 - cos(a)/sin(a) = (sin(a)) / (2cos^2(a/2))

Теперь у нас есть общее знаменатель, и мы можем упростить выражение:

1 - cos(a)/sin(a) = (sin(a)) / (2cos^2(a/2))

Умножим обе стороны на 2cos^2(a/2):

2cos^2(a/2) - cos(a) = sin(a)

Теперь применим определение синуса и косинуса половинного угла:

cos^2(a/2) = (1 + cos(a)) / 2 sin(a/2) = √[(1 - cos(a))/2]

Теперь заменим их в уравнении:

2[(1 + cos(a))/2] - cos(a) = √[(1 - cos(a))/2]

Упростим выражение:

(1 + cos(a)) - 2cos(a) = √(1 - cos(a))

Теперь продолжим упрощение:

1 + cos(a) - 2cos(a) = √(1 - cos(a))

1 - cos(a) = √(1 - cos(a))

Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

(1 - cos(a))^2 = (1 - cos(a))

Раскроем квадрат слева:

1 - 2cos(a) + cos^2(a) = 1 - cos(a)

Теперь выразим cos^2(a):

2cos(a) - 2cos^2(a) = 0

Теперь можно вынести общий множитель:

2cos(a)(1 - cos(a)) = 0

Из этого уравнения видно, что либо cos(a) = 0, либо 1 - cos(a) = 0. Рассмотрим оба случая:

1. Если cos(a) = 0, то tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2) = sin(a/2) / 0, что бесконечностью. Это верно для любых a, для которых cos(a) = 0 (например, a = π/2).
2. Если 1 - cos(a) = 0, то cos(a) = 1, что верно только для a = 0.

Итак, у нас есть два случая, в которых исходное уравнение выполняется: a = 0 и a = π/2. Таким образом, тождество доказано.