Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО!! Для функции y=4x/(x+1)^2 Найти точки экстремума макс./мин.

Answer 1

Ответ:

точка (1;1)

Пошаговое объяснение:

Точки экстремума - точки, в которых производная функции равна 0.

y'(x) = ((4x)'*(x+1)² - ((x+1)²)'(4x)) / (x+1)^4 = 0

(по формуле (u/v)' = (u'v - v'u)/(v²)  )

4*(x+1)² - 2(x+1)*4x = 0 (дробь равна 0 когда числитель равен 0)

4x² + 8x + 4 - 8x² - 8x = 0

-4x² + 4 = 0

x = ±1

Заметим, что -4x²+4 отрицательна при x<-1 и x>1, и положительна при x∈(-1;1). Значит, и y'(x) отрицательна при x<-1 и x>1, и положительна при x∈(-1;1) (так как (x+1)^4 > 0). При этом, при x = 1, y'(x) = 0, а при x = -1 значение y(x) не определено. Поэтому есть только 1 точка экстремума (максимума): x = 1. Тогда y = 1.

Answer 2

Для поиска точек экстремума функции $y = \frac{4x}{(x+1)^2}$ сначала найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы будем анализировать вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума.

Шаг 1: Найдем производную $y$:

$y = \frac{4x}{(x+1)^2}$

Для вычисления производной используем правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4x}{(x+1)^2}\right)$

$y' = \frac{(4x)'(x+1)^2 - 4x((x+1)^2)'}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(x+1)^2 - 4x(2(x+1))}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(x+1)^2 - 8x(x+1)}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(x+1)((x+1) - 2x)}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(x+1)(x+1 - 2x)}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(x+1)(1-x)}{(x+1)^4}$

$y' = \frac{4(1-x)}{(x+1)^3}$

Теперь приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:

$\frac{4(1-x)}{(x+1)^3} = 0$

Теперь мы видим, что $y' = 0$ при $x = 1$.

Шаг 2: Найдем вторую производную $y''$ для анализа поведения в точке $x = 1$:

$y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4(1-x)}{(x+1)^3}\right)$

Для вычисления второй производной используем правило дифференцирования частного и правило дифференцирования степени:

$y'' = \frac{(4(1-x))'((x+1)^3) - 4(1-x)((x+1)^3)'}{(x+1)^6}$

$y'' = \frac{(-4)((x+1)^3) - 4(1-x)(3(x+1)^2)}{(x+1)^6}$

$y'' = \frac{-4(x+1)^3 - 12(1-x)(x+1)^2}{(x+1)^6}$