Question

Две стороны треугольника равны 10 и 12, а его площадь равна 15. Найдите медиану треугольника, проведённую к третьей стороне.

Answer 1

Пусть третья сторона равна "а".

Обозначим проекцию на "а" стороны длиной 10 за "х".

Высота треугольника h = 2S/a = (2*15)/a = 30/a.

Теперь рассмотрим 2 прямоугольных треугольника с общим катетом  "h".

x² + h² = 10²,    

(a - x)² + h² = 12².

Раскроем скобки и заменим h = 30/a. Получаем систему из двух уравнений с двумя переменными.

{x² + (30/a)² = 100,

{a² - 2ax + x² + (30/a)² = 144.

Решением системы есть длина стороны а и проекции стороны длиной 10 на а: а = 21,826108, х=9,90509.

Теперь можно получить ответ по формуле длины медианы по длинам сторон треугольника.

m(a) = (1/2)√(2b² + 2c² - a²).

Подставив длины заданных сторон 10 и 12, а также найденной стороны, получаем m(a) = 1,704479.

Ответ: m(a) = 1,704479.

Answer 2

Для нахождения медианы треугольника, проведенной к третьей стороне, можно воспользоваться формулой:

$M = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2},$

где:

• $M$ - медиана, проведенная к третьей стороне,
• $a$ и $b$ - длины двух известных сторон треугольника,
• $c$ - длина третьей стороны.

В данном случае у нас есть две стороны треугольника, $a = 10$ и $b = 12$, а площадь треугольника равна 15. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, чтобы найти длину третьей стороны:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C),$

где:

• $S$ - площадь треугольника,
• $a$ и $b$ - длины двух сторон треугольника,
• $C$ - угол между этими сторонами.

Мы знаем, что $S = 15$, $a = 10$ и $b = 12$, поэтому:

$15 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(C).$

Решим это уравнение для $\sin(C)$:

$15 = 60 \cdot \sin(C).$

Теперь найдем $\sin(C)$:

$\sin(C) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}.$

Теперь, чтобы найти угол $C$, можем воспользоваться обратной функцией синуса (арксинусом). Обозначим этот угол как $\angle C$:

$\angle C = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right).$

Теперь, когда у нас есть значение угла $C$, мы можем использовать закон косинусов для нахождения длины третьей стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C).$

Подставим известные значения:

$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(\angle C).$

Теперь мы можем найти $c$:

$c = \sqrt{10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(\angle C)}.$

Теперь, когда мы знаем длину третьей стороны $c$, мы можем найти медиану $M$ с помощью формулы:

$M = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.$

Подставим известные значения $a$, $b$, и $c$:

$M = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 12^2 - c^2}.$

Теперь остается только подставить значение $c$, которое мы нашли выше, и вычислить $M$:

$M = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 12^2 - \left(\sqrt{10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(\angle C)}\right)^2}.$

Рассчитав это выражение, вы получите длину медианы треугольника, проведенной к третьей стороне.