Question

При каком значении параметра α векторы , и компланарны? = (-2; 5; 2), = (-5; -2; -3), = (-7; 8; α). Ответ: α = Ответ

Answer 1

Ответ:

$\vec{a}=(-2;5;2)\ ,\ \ \vec{b}=(-5;-2;-3)\ ,\ \ \vec{c}=(-7;8;\alpha )\\\\\\(\vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}-2&5&2\\-5&-2&-3\\-7&8&\alpha \end{array}\right |=-7\, (-15+4)-8\, (6+10)+\alpha \, (4+25)=0\\\\\\-51+29\, \alpha =0\ \ ,\ \ 29\, \alpha =-51\ \ ,\ \ \alpha =-\dfrac{51}{29}\ \ ,\ \ \alpha =-1\dfrac{22}{29}$

Answer 2

Векторы будут компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение трех векторов в трехмерном пространстве можно выразить следующим образом:

= a ⋅ (b × c)

где a, b и c - это векторы.

В вашем случае: = (-2; 5; 2) = (-5; -2; -3) = (-7; 8; α)

Теперь вычислим векторное произведение b × c:

b × c = (-5; -2; -3) × (-7; 8; α)

Чтобы найти векторное произведение, вы можете использовать следующую формулу:

b × c = (bc - cb)

где bc - это компоненты вектора b, перемноженные с компонентами вектора c, и cb - это компоненты вектора c, перемноженные с компонентами вектора b.

= ((-2) * α - (-3) * 8; (-3) * (-7) - (-5) * α; (-5) * 8 - (-2) * (-7))

Теперь у нас есть векторное произведение b × c:

= (-2α + 24; 21 + 5α; 40 + 14)

Теперь мы можем вычислить смешанное произведение:

= a ⋅ (b × c) = (-2; 5; 2) ⋅ (-2α + 24; 21 + 5α; 40 + 14)

= (-2) * (-2α + 24) + (5) * (21 + 5α) + (2) * (40 + 14)

Теперь вычислим это смешанное произведение и приравняем его к нулю:

-2(-2α + 24) + 5(21 + 5α) + 2(40 + 14) = 0

Решим уравнение для α:

4α - 48 + 105 + 25α + 88 + 28 = 0

29α + 145 = 0

29α = -145

α = -145 / 29

α = -5

Итак, при α = -5 векторы будут компланарными.