Question

Решите пожалуйста дифференциальное уравнение. y''+y'-6y=0 y(0)=-1 y'(0)=2 f(x)=xe^2x

Answer 1

Ответ: (-4/5)е^(-3x) + (-1/5)e^(2x).

В условии содержится лишнее данное: f(x).

Пошаговое объяснение:

Характеристическое уравнение x^2 +x -6. Корни -3 и 2. Общее решение Ae^(-3x) + Be^(2x). Подставляем нуль. Получаем А+В=-1. Ищем производную в нуле. Получаем -3А + 2В = 2. Решаем последние два уравнения. 2А+2В = -2, значит,

2В = -2-2А = 2+3А. Значит, А = -4/5. В = -1/5. Ответ доказан.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение:

r^2 + r - 6 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно использовать квадратное уравнение вида r^2 + ar + b = 0. В данном случае, a = 1, b = -6. Мы ищем два корня r1 и r2:

r1 = (-a + √(a^2 - 4b)) / 2 r2 = (-a - √(a^2 - 4b)) / 2

r1 = (-1 + √(1 + 24)) / 2 = (-1 + √25) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 2 r2 = (-1 - √(1 + 24)) / 2 = (-1 - √25) / 2 = (-1 - 5) / 2 = -3

Таким образом, у нас есть два корня: r1 = 2 и r2 = -3.

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = c1 * e^(r1 * x) + c2 * e^(r2 * x)

где c1 и c2 - произвольные константы, которые нужно найти из начальных условий. У нас есть два начальных условия:

y(0) = -1 y'(0) = 2

Подставляя их в уравнение, получаем систему уравнений:

c1 + c2 = -1 2c1 - 3c2 = 2

Решим эту систему методом подстановки или методом Гаусса. Давайте используем метод подстановки:

Из первого уравнения выразим c1:

c1 = -1 - c2

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

2(-1 - c2) - 3c2 = 2

-2 - 2c2 - 3c2 = 2

-5c2 = 4

c2 = -4/5

Теперь найдем c1, используя первое уравнение:

c1 = -1 - (-4/5) = -5/5 + 4/5 = -1/5

Итак, у нас есть значения c1 и c2:

c1 = -1/5 c2 = -4/5

Теперь мы можем записать частное решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = (-1/5) * e^(2x) - (4/5) * e^(-3x)

Теперь рассмотрим функцию f(x):

f(x) = x * e^(2x)

Чтобы найти частную производную f'(x), используем правило производной произведения:

f'(x) = (x * e^(2x))' = x' * e^(2x) + x * (e^(2x))'

Теперь найдем производные:

x' = 1 (производная по x от x) (e^(2x))' = 2e^(2x) (производная по x от e^(2x))

Подставим это в выражение для f'(x):

f'(x) = 1 * e^(2x) + x * 2e^(2x) = e^(2x) + 2xe^(2x)

Итак, у нас есть производная f'(x). Теперь мы можем записать общее решение для исходного дифференциального уравнения:

y(x) = (-1/5) * e^(2x) - (4/5) * e^(-3x) + c

где c - произвольная константа. Это общее решение уравнения. Если у вас есть какие-либо дополнительные начальные условия, то вы можете использовать их, чтобы найти конкретное решение.