Question

Исследовать функцию с помощью второй производной и построить график функции: y=x^3+2x-3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

при помощи второй производной исследуются промежутки выпуклости графика функции и находятся критические точки II рода - точки перегиба.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной:

если в некотором промежутке f"(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке;

если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

точки, в которых f"(x)=0 - это точки перегиба.

раз уж нам еще и график строить, то по ходу решения найдем и критические точки I рода - точки экстремума функции

итак, поехали

у=х³ + 2х -3

первая производная y' =3x²+2

критические точки  I рода:

3x²+2=0

у данного уравнения нет корней. значит, глобальных экстремумов нет

вторая производная у"   = 6x

точка перегиба

6х=0  ⇒  х = 0

т.е. получили два промежутка выпуклости / вогнутости (-∞;0)  (0;+∞)

посмотрим,  что где. для этого берем любую точку промежутка и смотрим знак второй производной

(-∞;0)  у(-1) = -6 < 0, значит функция выпукла

(0;+∞) у(1) = 6 > 0, функция вогнута

вот, в общем, и все

график прилагается

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 + 2x - 3 с помощью второй производной и построения её графика выполним следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = 3x^2 + 2

2. Теперь найдем вторую производную: y'' = 6x

3. Исследуем точки экстремума и выпуклости функции с помощью второй производной:

   a) Точки экстремума: Точки экстремума находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение 6x = 0: 6x = 0 x = 0

   b) Знак второй производной: Если y'' > 0, то функция выпукла вверх, и это минимум. Если y'' < 0, то функция выпукла вниз, и это максимум.

   В данном случае, y'' = 6x, и при x = 0, y'' = 0, что означает точку перегиба.

4. Теперь построим график функции:

   Для построения графика функции y = x^3 + 2x - 3, учтем следующее:

   • Найденная точка перегиба x = 0.
   • Значения функции в точках x = -1, x = 0 и x = 1 (эти точки выбраны для наглядности).

   Таблица значений: x = -1: y = (-1)^3 + 2(-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6 x = 0: y = 0^3 + 2(0) - 3 = -3 x = 1: y = 1^3 + 2(1) - 3 = 0

   Теперь построим график функции, учитывая найденные значения и информацию о точке перегиба:

   График:

   • Точка перегиба (0, -3)
   • Минимум (по второй производной) в окрестности точки (0, -3)
   • Значения убывают с увеличением x слева от точки перегиба и возрастают с увеличением x справа от точки перегиба.

   Таким образом, график функции будет иметь вид нисходящей параболы с минимумом в точке (0, -3), и он будет выпуклым вниз в этой области.