Question

2. Вероятность успеха в каждом испытании Бернулли равна р. Найти вероятность того, что третий по порядку успех наступит при пятом испытании, если было проведено не менее пяти испытаний

Answer 1

Ответ:

Задача 1. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных.

n=100,k=7,m=5,l=3.

Пример решения по формуле Бернулли

Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:

а) три элемента;

б) не менее четырех элементов;

в) хотя бы один элемент.

Решение примера на формулу Бернулли

Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Решение задачи на формулу наивероятнейшего числа

Задача 5. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

Посмотреть решение задачи на формулу Бернулли

Задача 6. Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?

Решение задачи об игре на формулу Бернулли

Задача 7. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Решение задачи 113 (Гмурман)

Формула Пуассона: решенные задачи

Задача 4. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

Решение задачи на приближенную формулу Пуассона

Задача 8. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:

а) три ошибочно укомплектованных пакета;

б) не более трех пакетов.

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что третий по порядку успех наступит при пятом испытании, мы можем использовать формулу вероятности для отрицательного биномиального распределения (распределения Паскаля). Формула вероятности выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(k - 1, r - 1) * p^r * (1 - p)^(k - r),

где:

• X - случайная величина, которая представляет собой количество испытаний до появления r-го успеха.
• k - количество испытаний до появления r-го успеха (в данном случае третьего успеха).
• r - номер успеха, который мы ищем (в данном случае третий).
• p - вероятность успеха в каждом отдельном испытании.
• C(k - 1, r - 1) - биномиальный коэффициент, который равен C(k - 1, r - 1) = (k - 1)! / [(r - 1)! * (k - r)!].

В данной задаче у нас есть p = вероятность успеха в каждом испытании и r = 3 (третий успех). Мы хотим найти вероятность, что третий успех произойдет при пятом испытании (k = 5).

Сначала вычислим биномиальный коэффициент: C(5 - 1, 3 - 1) = C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 6.

Теперь мы можем подставить значения в формулу вероятности: P(X = 5) = 6 * p^3 * (1 - p)^(5 - 3) = 6 * p^3 * (1 - p)^2.

Таким образом, вероятность того, что третий успех наступит при пятом испытании, равна 6 * p^3 * (1 - p)^2.