Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиками функций y=x^2-x-6 и осью Ox

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x²-x-6 и осью Ox

ось Ох это у=0

итак имеем

y₂=x²-x-6;  у₁=0

найдем пределы интегрирования по х

x²-x-6 = 0 корни уравнения х₁ = -2; х₂ = 3

это наши пределы интегрирования.

формула для площади

$S\int\limits^a_b {(y_1-y_2)} \, dx$

подставляем наши данные и "поехали"

$S=\int\limits^3_{-2} ({0-x^2+x+6}) \, dx$

интеграл суммы равен сумме интегралов

$S=\int\limits^3_{-2} ({0-x^2+x+6}) \, dx = -\frac{x^3}{3} I_{-2}^3+\frac{x^2}{2} I_{-2}^3+6x I_{-2}^3=\\\\=-\frac{35}{3} +\frac{5}{2} +30 = \frac{125}{6}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - x - 6 и осью Ox, вам нужно найти интеграл этой функции на соответствующем интервале.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью Ox:

y = x^2 - x - 6 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, вы можете воспользоваться формулой квадратного уравнения или графически. Уравнение имеет два корня:

x^2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0

Отсюда x = 3 и x = -2.

Теперь мы знаем, что фигура ограничена интервалом [-2, 3] по оси x.

Для нахождения площади этой фигуры с помощью интеграла, мы можем использовать следующую формулу:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

где a и b - это границы интервала, а |f(x)| - это абсолютное значение функции.

Теперь подставим значения a и b:

a = -2 b = 3

И интеграл будет выглядеть так:

$S = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| dx$

Теперь нам нужно разбить этот интеграл на два части, так как функция может быть положительной и отрицательной на заданном интервале. Давайте вычислим интеграл для каждой из частей:

1. Когда $x^2 - x - 6 \geq 0$ (функция положительна): $S_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 - x - 6) dx$

2. Когда $x^2 - x - 6 < 0$ (функция отрицательна): $S_2 = \int_{2}^{3} -(x^2 - x - 6) dx$

Теперь вычислим каждый из этих интегралов:

1. $S_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 - x - 6) dx$

$S_1 = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x\right]_{-2}^{2}$

$S_1 = \left[\frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{2}(2^2) - 6(2)\right] - \left[\frac{1}{3}(-2^3) - \frac{1}{2}(-2^2) - 6(-2)\right]$

$S_1 = \left[\frac{8}{3} - 2 - 12\right] - \left[-\frac{8}{3} - 2 + 12\right]$

$S_1 = \left[\frac{8}{3} - 14\right] - \left[-\frac{8}{3} + 10\right]$

$S_1 = \left[-\frac{34}{3}\right] - \left[\frac{2}{3}\right] = -\frac{36}{3} = -12$

2. $S_2 = \int_{2}^{3} -(x^2 - x - 6) dx$

$S_2 = -\left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x\right]_{2}^{3}$

$S_2 = -\left[\frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - 6(3)\right] + \left[\frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{2}(2^2) - 6(2)\right]$